1关于李代数的一点初略的总结

2007-10-2 23:25:00

这段时间一直都在看Cornwell的group theory in physics，对于一个紧致李群（如SO(N)群），有x₁...x_n共n个参数，而x₁...x_n都是 t 的解析函数，群中的任意一个元素都是x₁...x_n的解析函数，那么，对任意一个群元素A，可以进行一个Taylor展开（在参数的0点），得到0阶的是单位矩阵，一阶的共n个矩阵，这n个矩阵记为：a₁...a_n这就是该群所对应的李代数的生成元，任意给定一个李代数的元素a，那么A(t)就可以通过指数化映射用a表达出来记为：A(t)=exp(ta)，而A(t)称为该群的但参数子群。

现在问题是，如何来确定群所对应的李代数的生成元？

给定一个群，比如SU(N)群，SO(N)群etc，那么根据群元的特点可以确定参数的个数，比如n个参数（我们总可以让这n个参数是某个变量，比如 t 的解析函数？）

然后，通过求偏导就可以确定对应的李代数的生成元。

所谓实李代数，复李代数就是：李代数的生成元的实线性组合和复线性组合的区别。

对于SO(3)和SU(2)的对应的李代数的生成元都是Pauli 矩阵，而SO(3)和SU(2)之间存在着一个同构映射，是不是。。。。。。。（这里不知道了）？？？？？？？？？

对于SO(3)群（R³的固有转动群）和量子力学中的角动量理论有一个内在的联系：

对三维空间坐标进行转动T，那么对波函数有一个算符进行变换，该变换记为：P(T )，对坐标变换的记为R(T)，下面总结下T,R(T),P(T)三者之间的关系。？？？？？？？？？？

每一个抽象李代数同构于一个以对易子为：[a,b]=ab-ba的矩阵李代数（注：a，b是矩阵李代数的元素）