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标 题: <<命运骰子——量子力学简史》（第54章）
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<<命运骰子——量子力学简史》（第54章）
第54章 爱因斯坦的电梯
(1)
在上一章,已经讲到, 广义相对论在某种意义上是一个弯曲光线的仪器。爱因斯坦也正是对光线弯曲的研究中最后走向广义相对论的。
但历史的发展就好象是股票市场上庄家拉升一个股票，不是一天就拉完的，必须有一个不断洗盘不断拉升的过程。 在我们走向广义相对论的时候，我们要采取了这样一条曲折爬升的路线来讲解。一天不可能完成一只股票的拉升，同样道理一天不能学会广义相对论。
做庄好象做贼，需要出人意料。写作物理学历史也是同样的，我们在这一章又要回过头来，深入谈谈1907年的爱因斯坦电梯。
（2）
跳楼的那一瞬间， 人是在引力场中做自由落体运动，感受不到重力的压迫，这是一种真正轻松的状态。
爱因斯坦也是这样认为，他意识到，当一个人在一个自由落体的电梯里，这个人完全感受不到引力的作用。
因此，做自由落体的一个人，是一个惯性系。
1。这个人的世界线是时空中的测地线。
2。这个人应该是没有自转的。
可是，什么叫没有自转呢？
因 为宇宙空间里，到处有各种复杂的引力场源，在任何一个空间点，引力场的分布很复杂（在时间上来看，这个场分布可能随时间变化，描述一个引力场，引力势不但 是空间的函数，还可能是时间的函数，这需要类似于电磁场，引进标量势和矢量势），但无论怎么样，把时间和空间放在一起看，时空是一个绝对的几何对象。
在这样复杂的情景里，我们的第2点到底是什么意思？
（3）
质点是不会自转的，只有刚体才会自转。在物理学中，在机器人研究中，刚体的运动非常重要。一般来说，一个刚体就是3个相互正交的矢量组成的一个标架。
一 个石狮子就是一个刚体，如果一个人把这块石狮子从北京大学门口搬到了香山的山顶。这个刚体就是空间上经历了一次非常复杂的运动，这个复杂运动因为是运动路 径依赖的，并且运动的路径是非常复杂的曲线，所以，要想描述这个运动不是那么简单的事情。---物理学家习惯于把刚体运动想象成一个外场中的陀螺的复杂运 动,这个运动在多数情景下是解不出来的,称为不可积的.
如果我们只关心石狮子一开始的位置和最终的位置，那么问题要简单得多：
1。开始位置和最终位置之间，有一个直线的平移。
2。开始位置和最终位置之间，石狮子的朝向有一个转动。（标架有了自转，比如本来石狮子头朝东，后来朝西了）
这个过程综合起来是一个运动群对刚体标架的作用，其实是一个欧几里德空间的平移群R3和一个特殊转动群SO （3）的半直积。 这个群被称为特殊欧几里德群SE（3）。
这个李群是机械运动的全部数学基础。有一个数学定理说，一个刚体的运动总可以归结为沿着空间中某一个直线的平行移动，然后再绕这条神秘直线的转动。
在搬动一个椅子的时候，在搬动一个石狮子的时候，从开始到结果，两个状态之间差了一个SE（3）群的作用。
对SE（3）群求时间导数，在单位元取值，就能得到一个李代数。这个李代数就是运动螺旋。
（4）
前面说得有点复杂，但总的来说，标架是会转动的。转动的参考系会产生科氏力，因此不是惯性系。
在一般的经典物理学中,刚体上的一个标架就是3个矢量场,但在爱因斯坦以后,时间和空间组成一个四维的几何体,我们的标架也要换成4个矢量场.
4个矢量沿着测地线走就是弯曲时空中的一个标架，很多情景下，它在沿着测地线走动的过程中会发生转动。
因 为测地线的切矢量可以做为第一个矢量场,把它确定下来以后,我们可以寻找剩下的三个矢量场,这三个矢量场一开始是正交的,并且要沿着测地线继续保持正交. 这是可以找到的,但这三个矢量场必须满足一个性质,那就是它们沿着测地线应该是平行移动的.这相当于要满足一个矢量场的方程.
爱因斯坦的电梯作为一个无限小的点,是做测地线运动的,但作为惯性系,它还应该是一个在运动过程中没有自转的标架.
2008年12月18日星期四
2008年11月25日星期二
《命运骰子——量子力学简史》（第52章）
发信人: yauzhang (penrsoe), 信区: Physics
标 题: <<命运骰子——量子力学简史》（第52章）
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第52章 朗之万：全世界只有12个人懂相对论
(1)
劳 厄回到普朗克的身边,大大的夸奖了爱因斯坦一番,说爱因斯坦的狭义相对论真是在经典力学的瓦砾之场上建立了一个华美的都城。普朗克也大为所动，于是写信给 爱因斯坦说， 说了半年， 最后的通信让爱因斯坦看到以后心花怒放，因为 普朗克说：“爱因斯坦是当代活着的哥白尼”。
这是一句重话， 相当于现时代，杨振宁给一个大学生写信，说，你是当代活着的牛顿，这话传出去弄不好是要死人的。
爱因斯坦在专利局当然是不想呆不下去了，于是他就去伯尔尼大学当了一个不要薪水的无薪讲师。----主要是收一些学生的听课费，要是在中国，这也算是一种变相家教。
历 史的发展并不是一马平川的，而是蜿蜒曲折，狭义相对论的思想已经开始被普朗克等人在学术领域传播，这自然引起了一些观念上的革命，虽然爱因斯坦已经开始准 备发展广义相对论，但狭义相对论的市场化进程却刚刚开始，消费者们还没有准备好接受这一款雷人的新产品。因为狭义相对论说， 两个速度不一样的人，他们的衰老速度是不一样的。那还了得吗？
江湖上的各个门派和三教九流异口同声地说：“晕了。”
法国的朗之万也有点晕，他不知道到底有多少人已经理解了狭义相对论，于是他说：“全世界只有12个人能懂相对论。”
（2）
朗 之万的话一传出去， 新闻界也听懂了，于是报纸上开始不断引用朗之万的这句诡异的话。 这句话实在是太精辟了，看上去就象是一副名画《最后的晚餐》， 尤其是12个人，简直有了上帝的气息。而流言表明，这12个人，大多数是在柏林，而在法国的，显然也有一个人，这个人自然是巴黎的贞操朗之万。
可惜，朗之万是真的不懂狭义相对论，他不但不懂，而且还很糊涂，他的糊涂自然代表了时代的糊涂，因为他就象是科学界通往新闻界的喇叭，他又抛出了一个老妪能解的问题：双胞胎悖论。
双胞胎悖论中的姐姐上天去了火星一番，妹妹留在地球，等姐姐回到地球，发现自己还是如花似玉的大姑娘，但妹妹已经人老珠黄。 悖论说，那既然运动是相对的，那为什么故事的结局不是姐姐人老珠黄妹妹如花似玉的版本？
这个悖论一出来，街坊邻居们纷纷议论开了，茶楼酒肆咖啡屋里也争得甚嚣尘上。狭义相对论被朗之万这样用捣糨糊的方法一弄，伤了大众的脑筋。
（3）
如 果读者们回望一百年来的狭义相对论发展之道路，会发现这个悖论一直是一个丰碑。这个丰碑的底座，镌刻这多少前仆后继夙兴夜寐的身影。多少人为了在这个丰碑 上撞死而泪流满面痴心不改，多少人为了这个丰碑茶不思饭不想性欲减退，多少人为了这个丰碑抛妻别子走上了民间科学家的漫漫野路？试想大地苍茫，岁月沉浮如 波涛汹涌，又有多少人真正地理解了这个丰碑的意义？
走在路上。
死在路上。
就是为了看清楚这碑上到底写了什么字。
今天，曾经困惑的灵魂还没有走远，但这个丰碑上的字已经被风雨吹刷字迹班驳，我们只能仔细分辨，才能看到，这个丰碑之上，写着三个字：“世界线”
从地球去火星一趟回地球的姐姐，她的世界线是闵氏时空中的曲线C。
在地球的妹妹的世界线是闵氏时空中的直线L。
世界线的长度C小于L。 所以，姐姐的固有时间要比妹妹的固有时间流得慢。也就是说，姐姐是会比妹妹年轻的。
世界线的长短是一个积分过程，这个过程其实可以推广到弯曲的时空。世界线的长度是一个几何不变量，只有这样的不变量才代表真正的物理，也就是不会随着观察者本身的地位改变而改变的。
因为路径积分也可以认为是对世界线来进行的，因为，作用量也可以在世界线上定义。对于一个相对论性的粒子，如果要为它寻找一个作用量，最简单也最直观的办法，就是把世界线的长度定义为它的作用量。
（4）
萤火虫追着你跑，会在黑夜里留下一个光痕。虽然爱因斯坦的轮廓已经在夜色中淹没。但看到一个空间轨道，如果你总能想到沿着时间在时空中拉成一个世界线，你就象一个色盲，别人看到的世界是五颜六色，但你的眼睛里是黑白的，都是一条一条的世界线。
于是，一些基本的问题会象海浪一样涌上来。举个例子，你会问：
1。存在不存在闭合的世界线？
2。时空流形上的两个时空点之间，可能不可能有无穷多条测地线连接？
3。一条椭圆曲线能不能成为世界线？
这样的怪问题会越来越多，但只有这样，才可能有异常的眼神，人们看到的是时空点的集合，你看到的是线条的集合，这样下去，世界上也许会有第13个懂相对论的人。
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第52章 朗之万：全世界只有12个人懂相对论
(1)
劳 厄回到普朗克的身边,大大的夸奖了爱因斯坦一番,说爱因斯坦的狭义相对论真是在经典力学的瓦砾之场上建立了一个华美的都城。普朗克也大为所动，于是写信给 爱因斯坦说， 说了半年， 最后的通信让爱因斯坦看到以后心花怒放，因为 普朗克说：“爱因斯坦是当代活着的哥白尼”。
这是一句重话， 相当于现时代，杨振宁给一个大学生写信，说，你是当代活着的牛顿，这话传出去弄不好是要死人的。
爱因斯坦在专利局当然是不想呆不下去了，于是他就去伯尔尼大学当了一个不要薪水的无薪讲师。----主要是收一些学生的听课费，要是在中国，这也算是一种变相家教。
历 史的发展并不是一马平川的，而是蜿蜒曲折，狭义相对论的思想已经开始被普朗克等人在学术领域传播，这自然引起了一些观念上的革命，虽然爱因斯坦已经开始准 备发展广义相对论，但狭义相对论的市场化进程却刚刚开始，消费者们还没有准备好接受这一款雷人的新产品。因为狭义相对论说， 两个速度不一样的人，他们的衰老速度是不一样的。那还了得吗？
江湖上的各个门派和三教九流异口同声地说：“晕了。”
法国的朗之万也有点晕，他不知道到底有多少人已经理解了狭义相对论，于是他说：“全世界只有12个人能懂相对论。”
（2）
朗 之万的话一传出去， 新闻界也听懂了，于是报纸上开始不断引用朗之万的这句诡异的话。 这句话实在是太精辟了，看上去就象是一副名画《最后的晚餐》， 尤其是12个人，简直有了上帝的气息。而流言表明，这12个人，大多数是在柏林，而在法国的，显然也有一个人，这个人自然是巴黎的贞操朗之万。
可惜，朗之万是真的不懂狭义相对论，他不但不懂，而且还很糊涂，他的糊涂自然代表了时代的糊涂，因为他就象是科学界通往新闻界的喇叭，他又抛出了一个老妪能解的问题：双胞胎悖论。
双胞胎悖论中的姐姐上天去了火星一番，妹妹留在地球，等姐姐回到地球，发现自己还是如花似玉的大姑娘，但妹妹已经人老珠黄。 悖论说，那既然运动是相对的，那为什么故事的结局不是姐姐人老珠黄妹妹如花似玉的版本？
这个悖论一出来，街坊邻居们纷纷议论开了，茶楼酒肆咖啡屋里也争得甚嚣尘上。狭义相对论被朗之万这样用捣糨糊的方法一弄，伤了大众的脑筋。
（3）
如 果读者们回望一百年来的狭义相对论发展之道路，会发现这个悖论一直是一个丰碑。这个丰碑的底座，镌刻这多少前仆后继夙兴夜寐的身影。多少人为了在这个丰碑 上撞死而泪流满面痴心不改，多少人为了这个丰碑茶不思饭不想性欲减退，多少人为了这个丰碑抛妻别子走上了民间科学家的漫漫野路？试想大地苍茫，岁月沉浮如 波涛汹涌，又有多少人真正地理解了这个丰碑的意义？
走在路上。
死在路上。
就是为了看清楚这碑上到底写了什么字。
今天，曾经困惑的灵魂还没有走远，但这个丰碑上的字已经被风雨吹刷字迹班驳，我们只能仔细分辨，才能看到，这个丰碑之上，写着三个字：“世界线”
从地球去火星一趟回地球的姐姐，她的世界线是闵氏时空中的曲线C。
在地球的妹妹的世界线是闵氏时空中的直线L。
世界线的长度C小于L。 所以，姐姐的固有时间要比妹妹的固有时间流得慢。也就是说，姐姐是会比妹妹年轻的。
世界线的长短是一个积分过程，这个过程其实可以推广到弯曲的时空。世界线的长度是一个几何不变量，只有这样的不变量才代表真正的物理，也就是不会随着观察者本身的地位改变而改变的。
因为路径积分也可以认为是对世界线来进行的，因为，作用量也可以在世界线上定义。对于一个相对论性的粒子，如果要为它寻找一个作用量，最简单也最直观的办法，就是把世界线的长度定义为它的作用量。
（4）
萤火虫追着你跑，会在黑夜里留下一个光痕。虽然爱因斯坦的轮廓已经在夜色中淹没。但看到一个空间轨道，如果你总能想到沿着时间在时空中拉成一个世界线，你就象一个色盲，别人看到的世界是五颜六色，但你的眼睛里是黑白的，都是一条一条的世界线。
于是，一些基本的问题会象海浪一样涌上来。举个例子，你会问：
1。存在不存在闭合的世界线？
2。时空流形上的两个时空点之间，可能不可能有无穷多条测地线连接？
3。一条椭圆曲线能不能成为世界线？
这样的怪问题会越来越多，但只有这样，才可能有异常的眼神，人们看到的是时空点的集合，你看到的是线条的集合，这样下去，世界上也许会有第13个懂相对论的人。
2008年11月11日星期二
《命运骰子——量子力学简史》（第51章）
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标 题: <<命运骰子——量子力学简史》（第51章）
发信站: 两全其美网 (Mon Nov 10 13:34:11 2008), 本站(lqqm.net)
第51章 伯尔尼：人心思变
(1)
爱因斯坦不知道的事情是很多的,换句话说,爱因斯坦在数学上是有点外行的.但他能够得到自己的物理洞见,而这些恰恰是另外一种境界.
广义相对论的发展也是有一些路标,这些路标都是爱因斯坦一个人摆在那里的.
1905年,狭义相对论
1907年,等效原理
1911年,光线在引力场中弯曲
1916年,爱因斯坦引力方程
1905年,爱因斯坦关于狭义相对论的文章发表以后,江湖上反应非常冷淡。这种冷淡让爱因斯坦有点沮丧，他知道自己在专利局的身份使得自己看上去非常象一个民科。
其实，在柏林大学，普朗克的讨论班里，就在讲相对论，讨论班有一个人没听懂到底什么是狭义相对论，但他相信这一定是一个牛比的学问。这个人就是劳厄，他打定主意，一放假就去伯尔尼大学向“爱因斯坦教授”求教。
风餐露宿，赶路匆忙，劳厄赶到了伯尔尼大学，问道：“我想拜访你们这里的爱因斯坦教授。”
伯尔尼大学的人说：“爱因斯坦？教授？谁？”
幸亏劳厄不是一个愣头青，马上说：“啊，他不是伯尔尼大学的，那他……我只知道他在伯尔尼。”
伯尔尼大学的人说：“这个人是干什么的？”
劳厄说：“他很牛比的……”
伯尔尼大学的人说：“他是公务员？你去专利局看看吧，那里好象有一个人叫爱因斯坦。”
劳厄说：“谢谢。”
赶到专利局，劳厄一头撞上一个年轻人，穿得象一个油博士，在走廊里来回踱步做思考状：一件不太干净的格子衬衫，领子已经不再坚硬，耷拉的脑袋上头发乱成一团麻，眼神甚是迷离，似乎有点忧郁。
专利局的走廊上空荡荡的。
“爱因斯坦博士在哪个办公室？”劳厄问。
年轻人楞住了，不知道说什么好，想了半天，说：“我叫爱因斯坦，对不起，我们这里好象没有第二个爱因斯坦。”
劳厄惊讶了，但很快就笑了，说：“大哥，我是来请教你问题的。”
爱因斯坦说：“你好，请教什么？”
劳厄说：“外面有一家小饭馆，如果可以，我们是不是边吃边聊？”
爱因斯坦说：“可以。”
几分钟后，两人在一家小餐馆的桌旁坐了下来。
“我是普朗克的学生。我们对你的狭义相对论很有兴趣。” 劳厄说，“我也觉得，我们的时空观需要被革新。”
“你是做什么方向的研究的？”爱因斯坦说。
“光的干涉什么的，不过我对x射线也有兴趣的。”劳厄说。
（2）
劳厄走了以后，过了几年，做了x射线对晶体的衍射实验，使得人们进入到了一个真正实用的物理领域：x射线衍射分析。 但劳厄对狭义相对论还是如痴如醉的，写了地球上第一本相对论方向的书 《相对论原理》。
爱因斯坦的生活没有被劳厄所改变，不过这次学院派的人的来访，增加了爱因斯坦的信心，他觉得自己还是有药可救的。当下最要紧的事情是去大学或者中学当个老师，这样才可以最后成为教授。
（3）
专利局的日子，什么时候才能到头？1907年，爱因斯坦思考的是如何把世界线和万有引力结合起来。但一口吃不了胖子，他觉得先思考一下万有引力。
这一次思考是在专利局的办公桌边进行的。爱因斯坦发现：在一个自由下降的电梯里，电梯里的人是感受不到万有引力的。
这是一个极端重要的发现，换句话说，在一个无引力场的空间，如果电梯向上加速的话，那么电梯里的人能感受到一个等效的引力。
这就是等效原理。不过这个原理是很物理的，但我们可以在黎曼微分几何里重新来说这件事情：
存在一个高斯法坐标系，使得流形上一点p，克里氏多夫符号函数在p点取值为0，度量在p点取为平坦度量。
（4）
爱因斯坦的等效原理和高斯法坐标系是同一个事情。克里氏多夫符号函数和矢量沿着流形上的路径平行移动有关系。 因为在欧几里德空间，也就是我们初中学的几何中，背后有一个隐藏的假设，那就是： 矢量在平行移动下是不变的。
但弯曲的流形（引力场）没有那么好的对称性，矢量在平行移动的时候，移动后的结果是依赖于它走过的路径的。细节我们不再谈，反正，在很小的距离上，矢量平行移动的变化量和克里氏多夫符号函数成正比的。
dA ===克里氏多夫符号函数 Adx
总之，很多事情可能是路径依赖的。打个比喻，蒋中正的曲线救国行动，行动的结果是依赖于他采取的曲线的。
再 比如，在牛顿万有引力场中，一个物体在空间走一个圈，引力场对它做功是零。这是因为牛顿万有引力F作为一个矢量场存在一个势函数phi。但这在其他的很多 物理情景下，一个物理场（矢量场或者张量场）往往没有这样对应的简单的势函数。比如，对于黎曼度量来说，就不能把度量写成一个全微分。
推而广之，很多情景是雷同的， 量子物理学家把波函数在参数空间里的这种平行移动后得到的变化称为几何相位。
对于这个时候的爱因斯坦来说，人生是路径依赖的，他的人生已经在伯尔尼专利局附近画出了一条路径． 他渴望改变这路径的走向．
标 题: <<命运骰子——量子力学简史》（第51章）
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第51章 伯尔尼：人心思变
(1)
爱因斯坦不知道的事情是很多的,换句话说,爱因斯坦在数学上是有点外行的.但他能够得到自己的物理洞见,而这些恰恰是另外一种境界.
广义相对论的发展也是有一些路标,这些路标都是爱因斯坦一个人摆在那里的.
1905年,狭义相对论
1907年,等效原理
1911年,光线在引力场中弯曲
1916年,爱因斯坦引力方程
1905年,爱因斯坦关于狭义相对论的文章发表以后,江湖上反应非常冷淡。这种冷淡让爱因斯坦有点沮丧，他知道自己在专利局的身份使得自己看上去非常象一个民科。
其实，在柏林大学，普朗克的讨论班里，就在讲相对论，讨论班有一个人没听懂到底什么是狭义相对论，但他相信这一定是一个牛比的学问。这个人就是劳厄，他打定主意，一放假就去伯尔尼大学向“爱因斯坦教授”求教。
风餐露宿，赶路匆忙，劳厄赶到了伯尔尼大学，问道：“我想拜访你们这里的爱因斯坦教授。”
伯尔尼大学的人说：“爱因斯坦？教授？谁？”
幸亏劳厄不是一个愣头青，马上说：“啊，他不是伯尔尼大学的，那他……我只知道他在伯尔尼。”
伯尔尼大学的人说：“这个人是干什么的？”
劳厄说：“他很牛比的……”
伯尔尼大学的人说：“他是公务员？你去专利局看看吧，那里好象有一个人叫爱因斯坦。”
劳厄说：“谢谢。”
赶到专利局，劳厄一头撞上一个年轻人，穿得象一个油博士，在走廊里来回踱步做思考状：一件不太干净的格子衬衫，领子已经不再坚硬，耷拉的脑袋上头发乱成一团麻，眼神甚是迷离，似乎有点忧郁。
专利局的走廊上空荡荡的。
“爱因斯坦博士在哪个办公室？”劳厄问。
年轻人楞住了，不知道说什么好，想了半天，说：“我叫爱因斯坦，对不起，我们这里好象没有第二个爱因斯坦。”
劳厄惊讶了，但很快就笑了，说：“大哥，我是来请教你问题的。”
爱因斯坦说：“你好，请教什么？”
劳厄说：“外面有一家小饭馆，如果可以，我们是不是边吃边聊？”
爱因斯坦说：“可以。”
几分钟后，两人在一家小餐馆的桌旁坐了下来。
“我是普朗克的学生。我们对你的狭义相对论很有兴趣。” 劳厄说，“我也觉得，我们的时空观需要被革新。”
“你是做什么方向的研究的？”爱因斯坦说。
“光的干涉什么的，不过我对x射线也有兴趣的。”劳厄说。
（2）
劳厄走了以后，过了几年，做了x射线对晶体的衍射实验，使得人们进入到了一个真正实用的物理领域：x射线衍射分析。 但劳厄对狭义相对论还是如痴如醉的，写了地球上第一本相对论方向的书 《相对论原理》。
爱因斯坦的生活没有被劳厄所改变，不过这次学院派的人的来访，增加了爱因斯坦的信心，他觉得自己还是有药可救的。当下最要紧的事情是去大学或者中学当个老师，这样才可以最后成为教授。
（3）
专利局的日子，什么时候才能到头？1907年，爱因斯坦思考的是如何把世界线和万有引力结合起来。但一口吃不了胖子，他觉得先思考一下万有引力。
这一次思考是在专利局的办公桌边进行的。爱因斯坦发现：在一个自由下降的电梯里，电梯里的人是感受不到万有引力的。
这是一个极端重要的发现，换句话说，在一个无引力场的空间，如果电梯向上加速的话，那么电梯里的人能感受到一个等效的引力。
这就是等效原理。不过这个原理是很物理的，但我们可以在黎曼微分几何里重新来说这件事情：
存在一个高斯法坐标系，使得流形上一点p，克里氏多夫符号函数在p点取值为0，度量在p点取为平坦度量。
（4）
爱因斯坦的等效原理和高斯法坐标系是同一个事情。克里氏多夫符号函数和矢量沿着流形上的路径平行移动有关系。 因为在欧几里德空间，也就是我们初中学的几何中，背后有一个隐藏的假设，那就是： 矢量在平行移动下是不变的。
但弯曲的流形（引力场）没有那么好的对称性，矢量在平行移动的时候，移动后的结果是依赖于它走过的路径的。细节我们不再谈，反正，在很小的距离上，矢量平行移动的变化量和克里氏多夫符号函数成正比的。
dA ===克里氏多夫符号函数 Adx
总之，很多事情可能是路径依赖的。打个比喻，蒋中正的曲线救国行动，行动的结果是依赖于他采取的曲线的。
再 比如，在牛顿万有引力场中，一个物体在空间走一个圈，引力场对它做功是零。这是因为牛顿万有引力F作为一个矢量场存在一个势函数phi。但这在其他的很多 物理情景下，一个物理场（矢量场或者张量场）往往没有这样对应的简单的势函数。比如，对于黎曼度量来说，就不能把度量写成一个全微分。
推而广之，很多情景是雷同的， 量子物理学家把波函数在参数空间里的这种平行移动后得到的变化称为几何相位。
对于这个时候的爱因斯坦来说，人生是路径依赖的，他的人生已经在伯尔尼专利局附近画出了一条路径． 他渴望改变这路径的走向．
2008年11月9日星期日
《命运骰子---量子力学简史》（第五十章）
发信人: yauzhang (penrsoe), 信区: Physics
标 题: 《命运骰子---量子力学简史》（第50章）
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《命运骰子---量子力学简史》（第50章）
第50章 引力场中的路径
（1）
爱因斯坦躺在床上，思路百转千徊，画在草稿纸上的世界线似有千千结。他不知道如何把狭义相对论和引力场结合起来----让那些世界线如同舞女一样扭动弯曲曼妙的细腰.想着想着，也就沉沉得睡着了。
这是1907年的情景，爱因斯坦还是伯尔尼专利局的职员，他有一个叫贝索的哥们，也在这里上班。他经常和贝索一起讨论学术问题----说实话他发现贝索虽然和自己职位相当，但智商确实比自己低了一点点。
这时候狭义相对论已经给他赢得了声誉，一些大学开始邀请他去当教授。
广 义相对论其实是描述万有引力的一门学问。爱因斯坦后来出了名以后，有一群大傻子经常问他到底什么是相对论。爱因斯坦不胜其烦，于是这样给普罗大众介绍相对 论的，他说：“引力不是人们坠入爱河的原因所在。人世间，初恋是如此重要的生物现象，你怎么可能根据化学和物理学来解释呢？把手放在火炉上一分钟，你会觉 得像一个小时那么久。而和你心仪的女孩偎依在一起一个小时就像一分钟那么短暂。这就是相对论。”
结果大多数白领听了这段话以后，唯一能记住的是最后那一句另人有性萌动的话。如此看来，贩夫走卒引车卖浆之徒更无法真正理解爱因斯坦。
引力场为什么那么难懂呢？ 因为引力场实际上不能用一个标量函数来描述，而是一个4乘4的矩阵。在某种意义上，我们也可以称爱因斯坦的广义相对论是一种“矩阵场论”。
（2）
牛顿是把引力场（势能）看成一个标量函数的。这个标量函数满足的是拉普拉斯---泊松方程。历史的发展并不那么生猛----历史的发展是缓慢的,是一段一段很轻很柔和的舞曲。
慢慢地说，我们要先来看一看牛顿引力场中的物体运动的路径。
为了简单起见，我们在地面上做物理，那么万有引力场的大小可以被看成是一个常数。这称称为重力场。这已经是最简单最简单的初中物理了。
在这样的重力场中，大师傅伽利略上场了。 他和惠更斯一起，盯着教堂里的钟摆看了很久很久。
“单摆的周期是恒定的。”惠更斯说，“摆动周期与摆角大小无关，引力场那么神奇的。”
大师傅伽利略也是很奥妙的，他在比萨斜塔上丢了几个质量不一样的石头。
“重的石头和轻的石头是同时落地的，引力场那么神奇的。”
这两个哥们一个没有考虑大角度单摆的导致的椭圆积分，一个没有考虑空气阻力导致的动力系统吸引子。不过都是大师，这样的时代背景灯光下，牛顿宛如一个脱衣舞娘，引起众人的围观。
（3）
牛顿的脱衣舞是不能长时间占据眼球的。于是，一个新的问题就出现了，那就是“最速降线”的问题。 如果在平面重力场中，高处有A点，低 处有B点，如果A，B不在一条铅直线上，那么，在两点之间连一条曲线，问什么曲线能让小球沿这个轨道滑下来用的时间最短。
牛顿当然思考这样的问题，但不知道怎么做。问题留给了伯弩利家族。 伯弩利兄弟自然是技压群雄，解答了这个问题。
如果读者们有兴趣，可以写出这个时间的积分。
ds是曲线的弧长，v是速率。
这个积分写在直角坐标系中，根据能量守恒，一定是很容易写的。 问题的关系是，你要求t最小，但曲线的形状y（x）没有确定，所以这个积分实际上是一个泛函（注：t是函数y（x）的函数）。
最速降线的t是路径y（x）的一个函数。 这一点是非常重要的。----如果读者们有宏大的视野，可以相信，这个问题可以用光线在一个变化折射率的介质中的传播时间最短来模拟。但无论这个问题的模型是什么，总之，这是一个欧拉--拉格朗日变分问题。
（4）
好了， 以上这个积分其实可以看成一个阿贝尔变换。 阿贝尔是挪威的青年，他的生命短暂，但万古长年，死后2000年，只要还有人类，依然会有人怀念他。他曾经也考虑过引力场中的路径问题，不过换了一个版本。
阿贝尔的问题是：如果有一个山，一个小球因为重力从山上滚下来的时间T是山的高度h的函数T（h）。T（h）的表达式就是上面我们讲的积分，如果你已经知道T（h），那么你能不能反推出这个山的形状。
答案是肯定的，这就是阿贝尔变换存在反变换。正如傅里叶变换存在反变换一样的。
阿贝尔已经死了，阿贝尔死的那个晚上千红一哭。 爱因斯坦还活着，爱因斯坦并不清楚阿贝尔的故事，也不清楚阿贝尔祖国的另外一个高手李发明的李群。
有很多东西是爱因斯坦不知道的。
标 题: 《命运骰子---量子力学简史》（第50章）
发信站: 两全其美网 (Fri Nov 7 13:38:39 2008), 本站(lqqm.net)
《命运骰子---量子力学简史》（第50章）
第50章 引力场中的路径
（1）
爱因斯坦躺在床上，思路百转千徊，画在草稿纸上的世界线似有千千结。他不知道如何把狭义相对论和引力场结合起来----让那些世界线如同舞女一样扭动弯曲曼妙的细腰.想着想着，也就沉沉得睡着了。
这是1907年的情景，爱因斯坦还是伯尔尼专利局的职员，他有一个叫贝索的哥们，也在这里上班。他经常和贝索一起讨论学术问题----说实话他发现贝索虽然和自己职位相当，但智商确实比自己低了一点点。
这时候狭义相对论已经给他赢得了声誉，一些大学开始邀请他去当教授。
广 义相对论其实是描述万有引力的一门学问。爱因斯坦后来出了名以后，有一群大傻子经常问他到底什么是相对论。爱因斯坦不胜其烦，于是这样给普罗大众介绍相对 论的，他说：“引力不是人们坠入爱河的原因所在。人世间，初恋是如此重要的生物现象，你怎么可能根据化学和物理学来解释呢？把手放在火炉上一分钟，你会觉 得像一个小时那么久。而和你心仪的女孩偎依在一起一个小时就像一分钟那么短暂。这就是相对论。”
结果大多数白领听了这段话以后，唯一能记住的是最后那一句另人有性萌动的话。如此看来，贩夫走卒引车卖浆之徒更无法真正理解爱因斯坦。
引力场为什么那么难懂呢？ 因为引力场实际上不能用一个标量函数来描述，而是一个4乘4的矩阵。在某种意义上，我们也可以称爱因斯坦的广义相对论是一种“矩阵场论”。
（2）
牛顿是把引力场（势能）看成一个标量函数的。这个标量函数满足的是拉普拉斯---泊松方程。历史的发展并不那么生猛----历史的发展是缓慢的,是一段一段很轻很柔和的舞曲。
慢慢地说，我们要先来看一看牛顿引力场中的物体运动的路径。
为了简单起见，我们在地面上做物理，那么万有引力场的大小可以被看成是一个常数。这称称为重力场。这已经是最简单最简单的初中物理了。
在这样的重力场中，大师傅伽利略上场了。 他和惠更斯一起，盯着教堂里的钟摆看了很久很久。
“单摆的周期是恒定的。”惠更斯说，“摆动周期与摆角大小无关，引力场那么神奇的。”
大师傅伽利略也是很奥妙的，他在比萨斜塔上丢了几个质量不一样的石头。
“重的石头和轻的石头是同时落地的，引力场那么神奇的。”
这两个哥们一个没有考虑大角度单摆的导致的椭圆积分，一个没有考虑空气阻力导致的动力系统吸引子。不过都是大师，这样的时代背景灯光下，牛顿宛如一个脱衣舞娘，引起众人的围观。
（3）
牛顿的脱衣舞是不能长时间占据眼球的。于是，一个新的问题就出现了，那就是“最速降线”的问题。 如果在平面重力场中，高处有A点，低 处有B点，如果A，B不在一条铅直线上，那么，在两点之间连一条曲线，问什么曲线能让小球沿这个轨道滑下来用的时间最短。
牛顿当然思考这样的问题，但不知道怎么做。问题留给了伯弩利家族。 伯弩利兄弟自然是技压群雄，解答了这个问题。
如果读者们有兴趣，可以写出这个时间的积分。
ds是曲线的弧长，v是速率。
这个积分写在直角坐标系中，根据能量守恒，一定是很容易写的。 问题的关系是，你要求t最小，但曲线的形状y（x）没有确定，所以这个积分实际上是一个泛函（注：t是函数y（x）的函数）。
最速降线的t是路径y（x）的一个函数。 这一点是非常重要的。----如果读者们有宏大的视野，可以相信，这个问题可以用光线在一个变化折射率的介质中的传播时间最短来模拟。但无论这个问题的模型是什么，总之，这是一个欧拉--拉格朗日变分问题。
（4）
好了， 以上这个积分其实可以看成一个阿贝尔变换。 阿贝尔是挪威的青年，他的生命短暂，但万古长年，死后2000年，只要还有人类，依然会有人怀念他。他曾经也考虑过引力场中的路径问题，不过换了一个版本。
阿贝尔的问题是：如果有一个山，一个小球因为重力从山上滚下来的时间T是山的高度h的函数T（h）。T（h）的表达式就是上面我们讲的积分，如果你已经知道T（h），那么你能不能反推出这个山的形状。
答案是肯定的，这就是阿贝尔变换存在反变换。正如傅里叶变换存在反变换一样的。
阿贝尔已经死了，阿贝尔死的那个晚上千红一哭。 爱因斯坦还活着，爱因斯坦并不清楚阿贝尔的故事，也不清楚阿贝尔祖国的另外一个高手李发明的李群。
有很多东西是爱因斯坦不知道的。
《命运骰子——量子力学简史》 (第四十九章）
发信人: yauzhang (penrsoe), 信区: Physics
标 题: 《命运骰子——量子力学简史》（第49章）
发信站: 两全其美网 (Fri Nov 7 09:55:42 2008), 本站(lqqm.net)
第49章： 伯尔尼克拉姆大街49号
（1）
1903年1月6日，爱因斯坦和大学同学、出生于塞尔维亚的女物理学家米勒娃结婚。是年秋天，几经搬迁，他们最终选择了伯尔尼老城中心的克拉姆大街49号三层的公寓。
这个时候，爱因斯坦终于有了一个稳定的工作有了一个家，大家如果仔细体味他经历的辛酸曲折，耳边会响起信乐团的歌〈海阔天空〉：
海阔天空
我曾怀疑我走在沙漠中
从不结果无论种什么梦
才张开翅膀风却便沉默
习惯伤痛能不能算收获
庆幸的是我一直没回头
终于发现真的是有绿洲
每把汗流了生命变的厚重
走出沮丧才看见新宇宙
海阔天空在勇敢以后
要拿执着将命运的锁打破
冷漠的人
谢谢你们曾经看轻我
让我不低头更精采的活
凌晨的窗口失眠整夜以后
看着黎明从云里抬起了头
日落是沉潜日出是成熟
只要是光一定会灿烂的
海阔天空狂风暴雨以后
转过头对旧心酸一笑而过
最懂我的人
谢谢一路默默的陪着我
让我拥有好故事可以说
看未来一步步来了
（2）
爱因斯坦白天在专利局上班，晚上在家里上床，老婆马上又生了一个孩子。因为专利局的工作甚是清闲，使得他有大量时间思考物理学。
“老婆，我真的很感谢格罗斯曼同学，他介绍的这个工作真是不错。”爱因斯坦说。
“对，我们应该有感恩的心。格罗斯曼是我们生命中的贵人。 你现在有这样的成就，我真的好高兴。 ”米勒娃说，对她来说，能在一个陌生的城市找到属于自己的男人和一个家，已经是很好的结局。
爱因斯坦于是天人合一的用马尔可夫过程开始做出了布朗运动，并且他还开始思考光电效应。最重要的工作也马上诞生，那就是狭义相对论。
狭义相对论和量子力学是两门不搭界的学问，也就是说，如果相对论是错的，量子力学也可能是对的。不过，本书的定位是最后要走向彭罗斯的扭量理论，所以狭义相对论是一个绕不过去的存在。到底什么是狭义相对论呢？
爱因斯坦的狭义相对论是这样说的：
1。有质量的物体，它的运动速度在不同参考系中是会变化的。
2。无质量的物体，它的运动速度在不同参考系中是不会变化的，都是光速。
爱因斯坦的数学老师，闵科夫斯基，把爱因斯坦的说法翻译成了数学家都能理解的语言： 狭义相对论就是一个（伪）3球面上的转动群，转动群保持光锥不变。
（3）
但 对爱因斯坦来说，这仅仅是故事的开始，狭义相对论告诉他：如果你在伯尔尼的街心花园广场朝天空撒一把沙子，这把沙子的世界线会一直在街心花园广场的未来光 锥中画出一条一条无变化的直线。但真实的情况是，引力不能被忽视，这些世界线在引力的作用下将变得弯曲……也许还可能相互纠结…………非常漂亮的图象。
显然，如何把万有引力和狭义相对论结合起来，成了一个最大的问题。这个问题是没有人想过的，只有爱因斯坦一个人在思考。可惜，爱因斯坦感觉到自己的几何学知识，完全不够。他不知道如何来描述一根被引力场弯曲的世界线。
（4）
如果从更加宏大的视野来看物理，世界线和路径积分的路径，都可以看成是流形上的曲线。
对于当时的爱因斯坦来说，流形还是一个前沿的数学概念，整个物理学界对数学是排斥的。物理学家不会在乎数学家到底在做什么，除非有人能把数学半岛和物理半岛之间的桥梁建立起来。
当时物理学家的基本数学水平，就是经典传统的矢量分析。
矢量分析是平坦空间上的一些矢量场的微分和积分运算。如果读者们依然有宏大的眼光，那么简单地说，这一套东西其实可以概括为一个英国诺丁汉面包师的工作。
这个面包师傅，就是格林。
格林小学还没有毕业，就去帮忙和父亲一起做面包了。这有点象当年江苏的一个小杂货店里的华罗庚。
一个人如果没有理想，那么和咸鱼没有区别。作家余华曾经在浙江一个小县城海盐做牙科医生，专门给人拔牙，看过千千万万带着菜叶子的口腔，正如一个妇科大夫看过千千万万的阴道，已经倍感恶心。余华说：“难道我一辈子就这样子了吗？我要写作。”
当时的面包师傅格林也一样，他看到面包已经反胃，他心想：“难道我一辈子就这样了吗？我要做矢量分析。”过了很久，等他父亲死了，他卖掉了面包店，开始去大学读书。他心里已经早已经有了很重要的数学结论。
格林是一个有谱青年，他的格林公式说：“矢量场的沿着一个封闭曲线积分，等于这个矢量场的微分在封闭曲线的内部积分。”
他的结论可以被推广到高维。他自己本人是做了2维和3维。当然，无论格林有多么牛比，他无法超越时代，如果我们还换句现代的语言来说，这就是微分几何里最基础的对偶定理。
伯尔尼克拉姆大街49号的爱因斯坦斜倚在床上，他在纸张画啊画。他想把世界线也写成矢量的积分曲线，然后让世界线弯曲起来。可惜他的数学水平，和一百年前的面包师傅是一样的。
爱因斯坦很是苦恼。
标 题: 《命运骰子——量子力学简史》（第49章）
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第49章： 伯尔尼克拉姆大街49号
（1）
1903年1月6日，爱因斯坦和大学同学、出生于塞尔维亚的女物理学家米勒娃结婚。是年秋天，几经搬迁，他们最终选择了伯尔尼老城中心的克拉姆大街49号三层的公寓。
这个时候，爱因斯坦终于有了一个稳定的工作有了一个家，大家如果仔细体味他经历的辛酸曲折，耳边会响起信乐团的歌〈海阔天空〉：
海阔天空
我曾怀疑我走在沙漠中
从不结果无论种什么梦
才张开翅膀风却便沉默
习惯伤痛能不能算收获
庆幸的是我一直没回头
终于发现真的是有绿洲
每把汗流了生命变的厚重
走出沮丧才看见新宇宙
海阔天空在勇敢以后
要拿执着将命运的锁打破
冷漠的人
谢谢你们曾经看轻我
让我不低头更精采的活
凌晨的窗口失眠整夜以后
看着黎明从云里抬起了头
日落是沉潜日出是成熟
只要是光一定会灿烂的
海阔天空狂风暴雨以后
转过头对旧心酸一笑而过
最懂我的人
谢谢一路默默的陪着我
让我拥有好故事可以说
看未来一步步来了
（2）
爱因斯坦白天在专利局上班，晚上在家里上床，老婆马上又生了一个孩子。因为专利局的工作甚是清闲，使得他有大量时间思考物理学。
“老婆，我真的很感谢格罗斯曼同学，他介绍的这个工作真是不错。”爱因斯坦说。
“对，我们应该有感恩的心。格罗斯曼是我们生命中的贵人。 你现在有这样的成就，我真的好高兴。 ”米勒娃说，对她来说，能在一个陌生的城市找到属于自己的男人和一个家，已经是很好的结局。
爱因斯坦于是天人合一的用马尔可夫过程开始做出了布朗运动，并且他还开始思考光电效应。最重要的工作也马上诞生，那就是狭义相对论。
狭义相对论和量子力学是两门不搭界的学问，也就是说，如果相对论是错的，量子力学也可能是对的。不过，本书的定位是最后要走向彭罗斯的扭量理论，所以狭义相对论是一个绕不过去的存在。到底什么是狭义相对论呢？
爱因斯坦的狭义相对论是这样说的：
1。有质量的物体，它的运动速度在不同参考系中是会变化的。
2。无质量的物体，它的运动速度在不同参考系中是不会变化的，都是光速。
爱因斯坦的数学老师，闵科夫斯基，把爱因斯坦的说法翻译成了数学家都能理解的语言： 狭义相对论就是一个（伪）3球面上的转动群，转动群保持光锥不变。
（3）
但 对爱因斯坦来说，这仅仅是故事的开始，狭义相对论告诉他：如果你在伯尔尼的街心花园广场朝天空撒一把沙子，这把沙子的世界线会一直在街心花园广场的未来光 锥中画出一条一条无变化的直线。但真实的情况是，引力不能被忽视，这些世界线在引力的作用下将变得弯曲……也许还可能相互纠结…………非常漂亮的图象。
显然，如何把万有引力和狭义相对论结合起来，成了一个最大的问题。这个问题是没有人想过的，只有爱因斯坦一个人在思考。可惜，爱因斯坦感觉到自己的几何学知识，完全不够。他不知道如何来描述一根被引力场弯曲的世界线。
（4）
如果从更加宏大的视野来看物理，世界线和路径积分的路径，都可以看成是流形上的曲线。
对于当时的爱因斯坦来说，流形还是一个前沿的数学概念，整个物理学界对数学是排斥的。物理学家不会在乎数学家到底在做什么，除非有人能把数学半岛和物理半岛之间的桥梁建立起来。
当时物理学家的基本数学水平，就是经典传统的矢量分析。
矢量分析是平坦空间上的一些矢量场的微分和积分运算。如果读者们依然有宏大的眼光，那么简单地说，这一套东西其实可以概括为一个英国诺丁汉面包师的工作。
这个面包师傅，就是格林。
格林小学还没有毕业，就去帮忙和父亲一起做面包了。这有点象当年江苏的一个小杂货店里的华罗庚。
一个人如果没有理想，那么和咸鱼没有区别。作家余华曾经在浙江一个小县城海盐做牙科医生，专门给人拔牙，看过千千万万带着菜叶子的口腔，正如一个妇科大夫看过千千万万的阴道，已经倍感恶心。余华说：“难道我一辈子就这样子了吗？我要写作。”
当时的面包师傅格林也一样，他看到面包已经反胃，他心想：“难道我一辈子就这样了吗？我要做矢量分析。”过了很久，等他父亲死了，他卖掉了面包店，开始去大学读书。他心里已经早已经有了很重要的数学结论。
格林是一个有谱青年，他的格林公式说：“矢量场的沿着一个封闭曲线积分，等于这个矢量场的微分在封闭曲线的内部积分。”
他的结论可以被推广到高维。他自己本人是做了2维和3维。当然，无论格林有多么牛比，他无法超越时代，如果我们还换句现代的语言来说，这就是微分几何里最基础的对偶定理。
伯尔尼克拉姆大街49号的爱因斯坦斜倚在床上，他在纸张画啊画。他想把世界线也写成矢量的积分曲线，然后让世界线弯曲起来。可惜他的数学水平，和一百年前的面包师傅是一样的。
爱因斯坦很是苦恼。
2008年11月5日星期三
《命运骰子——量子力学简史》（第四十八章）
发信人: yauzhang (penrsoe), 信区: Physics
标 题: 《命运骰子——量子力学简史》（第48章）
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《命运骰子——量子力学简史》（第48章）
第48章 路径积分：子宫内的布朗运动
（1）
大四那年。
人生黯淡，没有刹那芳华。
苏黎世联邦理工学院的校园里，一个女生和一个男生靠得很近，女孩子看上去走路有些异样，如果不是腿伤的话，她明显是一个瘸子。
“我好象怀孕了。”米勒娃忐忑不安地说，“这个月没有来月经啊”
“啊？怎么会这样？”那个小胡子的卷毛，名叫爱因斯坦的男生说，“这可怎么办？你毕业论文还没有写呢。”
“怎么办呀？”女孩子停住了脚步，问。
“你回你老家，把孩子生下来，我继续找工作。”男生说。
此刻共对无言……
女孩子什么也不说，转身就走掉了。
爱 因斯坦好象霜打的茄子一样，一个人走在苏黎世的街上，就好象走在原始森林，倍感到孤独无依，凝望着女朋友离开的背影，想起床上云雨的点点滴滴，如今已经都 成空虚负累。爱因斯坦想着想着，泪水犹如雨一样洒在面前。最近时运不济，工作也找不到，父母也不喜欢米勒娃，这简直让他有些崩溃。
（2）
苏黎世的咖啡店还开着，公园里的旋转木马还转着，游乐场的摩天轮还在上上下下。市井依然繁华，但人生已经黯淡。爱因斯坦走走想想，突然蹦出一个念头。
“韦伯，我的死是你害的。”
韦 伯是爱因斯坦在物理系的老师，对磁场有些研究，他上课的时候老说，磁场虽然是眼睛看不到的，但根据法拉弟的力线，这个磁场可以在黑板上画出来，那就是一条 一条的线条----这是矢量场的积分曲线——韦伯说，这些曲线可以穿过一个面，然后定义一个流量，这个流量作为一个物理量，量纲(单位)就是韦伯。
爱因斯坦想起这些，觉得万分的恶心，因为他大学里老是学这些东西，而这些东西早在高斯那个年代就已经搞清楚了。至少是70年前的陈芝麻烂谷子的事情了。
爱 因斯坦茫然地走着，街道上的电线杆上贴着很多小广告，他就停下来看看有没有什么打工兼职做家教的机会。不过这些广告一般是治疗性病的广告，这让爱因斯坦很 是恼火。这想一头撞电线杆上磕死算了，韦伯也不能给自己介绍工作，如果这样下去，过不了几个月，自己将花光所有的钱，然后死在大街上。
（3）
“你在干什么？”一个熟悉的声音在电线杆边上问到。
爱因斯坦把头抬起来，抹了一下眼泪，说：“你怎么回来了？ 我在思考问题呢。”
米勒娃说：“思考什么问题？”
爱因斯坦说：“磁场的问题。韦伯这个家伙，不是说我不爱学习吗？”
米勒娃说：“哦。 ——真的要把孩子生下来吗？——你说，你怎么搞的，我怎么会怀孕啊。我要是回老家生孩子，真是丢死人了。一个大姑娘，还没有结婚，就一个人回来生孩子了。”
爱因斯坦说：“没有什么好丢人的。”
米勒娃说：“怎么不丢人！都是你的错。”
爱因斯坦说：“我……我也不知道为什么会怀孕啊。这到底是一个什么样的过程？子宫里到底发生了什么事情？我要用物理学来描述这个过程。”
米勒娃说：“可能和电磁场差不多吧，相互感应上了。就象两个点电荷一样，它们之间存在很多很多看不到的连线。把这些连线的总的作用效果加起来，就是电荷之间的相互作用。这其实是一种对路径的积分吧。”
爱 因斯坦听到这里，感觉米勒娃真是物理学上少有的奇女子，她现在怀孕了，以后生出来的孩子，一定也是物理学上很有想象力和洞察力的人。想到这里，爱因斯坦感 觉非常得宽慰，说：“子宫里也发生了一种路径积分，就是我有一个精子，你有一个卵子，它们之间通过电场线一样的东西相互作用了。…………不对，应该是有很 多很多个精子，很多很多条路径……”
爱因斯坦拉起了米勒娃的手，感觉到一种光滑的温暖。
（4）
大 约在5年以后，爱因斯坦完整地建立了一个模型，私下里，他认为这个模型很好得描述了精子在射精以后在子宫里的扩散运动。他把单个精子的布朗运动的轨道用随 机变量写了出来，发现事情非常简单，那就是很多高斯随机变量的和还是高斯随机变量。如果有很多很多个精子，那么，这是一个系综（样本空间），爱因斯坦发现 概率密度的演化满足的居然是很简单很简单的方程——热传导方程。（热传导方程是非常自然的扩散方程，随着时间的推移，分布会越来越均匀，换句话说，最后精 子会在子宫里均匀分布。一般动力系统，如果我们用frobenius--perron
的算子来做的话，我们最后得到概率分布函数满足刘维尔方程。）
在本书的第二章，我们已经熟悉了这个方程。爱因斯坦做完这个东西，花了5年的时间，文章发表以后，他就名垂青史。这个时候他和米勒娃已经结婚，但当初的那个孩子送给了别人。
“那时候太穷了，连饭也吃不饱，把孩子也送人了。我真是一个失败的丈夫，一个糟糕的父亲。”爱因斯坦每当想起自己的第一个孩子，都是泪流满脸。
学术上的造诣却越来越高，米勒娃真是一个学术上最好的搭档，还帮助爱因斯坦建立了狭义相对论。她最高兴的事情不是在学术文章上署名，而是看见爱因斯坦因为发表了文章而能露出笑容。
（5）
日子就这样过去了。很多年以后，当电机工程师维纳看到爱因斯坦关于布朗运动的文章，觉得这事情太难理解了，他不喜欢物理学的那种方法，于是想在函数空间上建立一个严格的维纳测度，来做布朗运动的路径积分……
此 去经年，往事都在费曼的眼中。他当然知道维纳的工作，也相信如果真的要做路径积分，那么路径应该是连续但不可微的，这样的积分测度是要存在的。不过，做物 理有的时候不需要那么严格，生活要继续下去---做物理的胆子一定要大一些，饿死胆小的，撑死胆大的。当他写完自己的博士论文，真正做出路径积分的时候， 他去给泡利，维格纳，玻尔他们讲解，这些大牛人都被认为费曼的东西在数学上粗糙得一塌糊涂，在物理上错得一塌糊涂。这是后话，暂且不表。
标 题: 《命运骰子——量子力学简史》（第48章）
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《命运骰子——量子力学简史》（第48章）
第48章 路径积分：子宫内的布朗运动
（1）
大四那年。
人生黯淡，没有刹那芳华。
苏黎世联邦理工学院的校园里，一个女生和一个男生靠得很近，女孩子看上去走路有些异样，如果不是腿伤的话，她明显是一个瘸子。
“我好象怀孕了。”米勒娃忐忑不安地说，“这个月没有来月经啊”
“啊？怎么会这样？”那个小胡子的卷毛，名叫爱因斯坦的男生说，“这可怎么办？你毕业论文还没有写呢。”
“怎么办呀？”女孩子停住了脚步，问。
“你回你老家，把孩子生下来，我继续找工作。”男生说。
此刻共对无言……
女孩子什么也不说，转身就走掉了。
爱 因斯坦好象霜打的茄子一样，一个人走在苏黎世的街上，就好象走在原始森林，倍感到孤独无依，凝望着女朋友离开的背影，想起床上云雨的点点滴滴，如今已经都 成空虚负累。爱因斯坦想着想着，泪水犹如雨一样洒在面前。最近时运不济，工作也找不到，父母也不喜欢米勒娃，这简直让他有些崩溃。
（2）
苏黎世的咖啡店还开着，公园里的旋转木马还转着，游乐场的摩天轮还在上上下下。市井依然繁华，但人生已经黯淡。爱因斯坦走走想想，突然蹦出一个念头。
“韦伯，我的死是你害的。”
韦 伯是爱因斯坦在物理系的老师，对磁场有些研究，他上课的时候老说，磁场虽然是眼睛看不到的，但根据法拉弟的力线，这个磁场可以在黑板上画出来，那就是一条 一条的线条----这是矢量场的积分曲线——韦伯说，这些曲线可以穿过一个面，然后定义一个流量，这个流量作为一个物理量，量纲(单位)就是韦伯。
爱因斯坦想起这些，觉得万分的恶心，因为他大学里老是学这些东西，而这些东西早在高斯那个年代就已经搞清楚了。至少是70年前的陈芝麻烂谷子的事情了。
爱 因斯坦茫然地走着，街道上的电线杆上贴着很多小广告，他就停下来看看有没有什么打工兼职做家教的机会。不过这些广告一般是治疗性病的广告，这让爱因斯坦很 是恼火。这想一头撞电线杆上磕死算了，韦伯也不能给自己介绍工作，如果这样下去，过不了几个月，自己将花光所有的钱，然后死在大街上。
（3）
“你在干什么？”一个熟悉的声音在电线杆边上问到。
爱因斯坦把头抬起来，抹了一下眼泪，说：“你怎么回来了？ 我在思考问题呢。”
米勒娃说：“思考什么问题？”
爱因斯坦说：“磁场的问题。韦伯这个家伙，不是说我不爱学习吗？”
米勒娃说：“哦。 ——真的要把孩子生下来吗？——你说，你怎么搞的，我怎么会怀孕啊。我要是回老家生孩子，真是丢死人了。一个大姑娘，还没有结婚，就一个人回来生孩子了。”
爱因斯坦说：“没有什么好丢人的。”
米勒娃说：“怎么不丢人！都是你的错。”
爱因斯坦说：“我……我也不知道为什么会怀孕啊。这到底是一个什么样的过程？子宫里到底发生了什么事情？我要用物理学来描述这个过程。”
米勒娃说：“可能和电磁场差不多吧，相互感应上了。就象两个点电荷一样，它们之间存在很多很多看不到的连线。把这些连线的总的作用效果加起来，就是电荷之间的相互作用。这其实是一种对路径的积分吧。”
爱 因斯坦听到这里，感觉米勒娃真是物理学上少有的奇女子，她现在怀孕了，以后生出来的孩子，一定也是物理学上很有想象力和洞察力的人。想到这里，爱因斯坦感 觉非常得宽慰，说：“子宫里也发生了一种路径积分，就是我有一个精子，你有一个卵子，它们之间通过电场线一样的东西相互作用了。…………不对，应该是有很 多很多个精子，很多很多条路径……”
爱因斯坦拉起了米勒娃的手，感觉到一种光滑的温暖。
（4）
大 约在5年以后，爱因斯坦完整地建立了一个模型，私下里，他认为这个模型很好得描述了精子在射精以后在子宫里的扩散运动。他把单个精子的布朗运动的轨道用随 机变量写了出来，发现事情非常简单，那就是很多高斯随机变量的和还是高斯随机变量。如果有很多很多个精子，那么，这是一个系综（样本空间），爱因斯坦发现 概率密度的演化满足的居然是很简单很简单的方程——热传导方程。（热传导方程是非常自然的扩散方程，随着时间的推移，分布会越来越均匀，换句话说，最后精 子会在子宫里均匀分布。一般动力系统，如果我们用frobenius--perron
的算子来做的话，我们最后得到概率分布函数满足刘维尔方程。）
在本书的第二章，我们已经熟悉了这个方程。爱因斯坦做完这个东西，花了5年的时间，文章发表以后，他就名垂青史。这个时候他和米勒娃已经结婚，但当初的那个孩子送给了别人。
“那时候太穷了，连饭也吃不饱，把孩子也送人了。我真是一个失败的丈夫，一个糟糕的父亲。”爱因斯坦每当想起自己的第一个孩子，都是泪流满脸。
学术上的造诣却越来越高，米勒娃真是一个学术上最好的搭档，还帮助爱因斯坦建立了狭义相对论。她最高兴的事情不是在学术文章上署名，而是看见爱因斯坦因为发表了文章而能露出笑容。
（5）
日子就这样过去了。很多年以后，当电机工程师维纳看到爱因斯坦关于布朗运动的文章，觉得这事情太难理解了，他不喜欢物理学的那种方法，于是想在函数空间上建立一个严格的维纳测度，来做布朗运动的路径积分……
此 去经年，往事都在费曼的眼中。他当然知道维纳的工作，也相信如果真的要做路径积分，那么路径应该是连续但不可微的，这样的积分测度是要存在的。不过，做物 理有的时候不需要那么严格，生活要继续下去---做物理的胆子一定要大一些，饿死胆小的，撑死胆大的。当他写完自己的博士论文，真正做出路径积分的时候， 他去给泡利，维格纳，玻尔他们讲解，这些大牛人都被认为费曼的东西在数学上粗糙得一塌糊涂，在物理上错得一塌糊涂。这是后话，暂且不表。
2008年11月3日星期一
《命运骰子——量子力学简史》（第四十七章）
发信人: yauzhang (penrsoe), 信区: Physics
标 题: ＜＜命运骰子——量子力学简史＞＞（第４７章）
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＜＜命运骰子——量子力学简史＞＞（第４７章）
第４７章 昨夜西风凋碧树
（１）
王国维曾经说过， 读书有３种境界．读者们看到这里， 一定已经有了第一种境界，那就是＂昨夜西风凋碧树， 独上高楼， 望尽天涯路＂．
量 子力学是一条漫漫无迹的道路，比如量子计算，量子混沌，量子光学，量子黑洞，量子布朗运动，反正你可以想出来的学科，都可以有一个量子理论与之对应－－比 如还可能有一些比较象伪科学的＂量子金融＂，可以把经典随机变量换成量子变量，然后来做股票研究，但如果你把研究结论利用起来，投身中国股市，你将输得只 剩一条内裤． 总之，量子力学博大精深，海纳百川，也是藏污纳诟的地方，这本书读到这里，只体现出了王国维所说的第一层境界．
读者们在前面的章节已经读到爱因斯坦－希尔伯特作用量，也许觉得有点突兀．其实，本书中会不断谈到广义相对论和其他的几何学思想，所以一切在情理之中的．
为了在下面的章节谈论路径积分，在这一章要先熟悉一下拉格朗日力学．
如果可以，我们想问这样的问题：
１．假如牛顿没有发现万有引力，那么谁会发现它？
答案是－－－牛顿．
２．假如牛顿没有发现牛顿第二定律，那么谁会发现它？
答案很可能是－－－－拉格朗日．
众所周知的事情是，拉格朗日在很年轻的时候， 已经很有才情， 但他并不著名，为了出名，他给当时还活着的大数学家欧拉写了一封信．信里说，我找到了等周问题（给一根绳子，你圈最大面积的土地）的解答， 我把这个方法取了一个名字，就叫＂欧拉－－拉格朗日方程＂．
从此，江湖上大为吃惊的是，一个默默无闻的年轻人，写有一本书叫＜分析力学＞，这个书的作者的名字居然和欧拉放在一起．
这相当于现在有一个小瘪三，把自己的名字和杨振宁放在一起，发表一个定理是一样的．
（２）
拉格朗日的＜分析力学＞是一个公理化体系．他的书没有一张图，但经典力学已经被发展成为数学分析的一个分支．这在某种意义上来说，是集大成之作品，对当时代的人来说，这个书里只有一样东西，那就是拉格朗日量．
为了谈论方便，我们以具有动能Ｔ的单粒子在任意势场Ｖ中的运动来写出拉格朗日量Ｌ：
Ｌ＝Ｔ－Ｖ
拉格朗日量是广义坐标和广义速度的函数，粒子的运动方程就是欧拉－－拉格朗日方程． 当然，有了方程以后并不是说这个方程一定可以解出来，只有找到足够多的物理上的守恒量，这个欧拉－－拉格朗日方程才是可以在位形空间里确定出一根一维的轨道．
那些欧拉－－拉格朗日方程可以被解出来的物理系统被称为＂可积系统＂．这才是真正的物理学．如果没有可积系统，那么物理学家的人数会和大街上开出租的一样多．＂可积系统＂淘汰掉大量不适合搞物理的人转行进入新的领域．
（３）
经典物理学同时是一门简单的学科，拉格朗日量可以作证．任何人只要懂得了拉格朗日，做经典物理就象做爱一样简单． 一般来说，拉格朗日量的时间积分是作用量Ｓ．
经典物理学的简单性体现在，系统的动力学在作用量Ｓ取最小数值的时候发生．
这被称为最小作用量原理．
几何学里，还有一个原理，那就是在弯曲流形上的两个点，它们之间的距离以测地线为最短．这就是费马原理．
阿诺德的书＜经典力学的数学方法＞非常精彩，看这样的书才可能提高中国人的学术水平，因为这是拉格朗日数学分析思想的延伸．
拉格朗日告诉我们，轨道的作用量最小，而阿诺德告诉我们，我们可以把位形空间看成是一个微分流形，我们可以从拉格朗日量中构造出这个微分流形上的黎曼度量，从而把运动轨道看成是这个黎曼流形上的测地线．
（４）
昨夜西风凋碧树，经典力学虽然已经死亡，但它活着的时候，它曾经独上高楼， 望尽天涯路．它一直在等待着量子力学时代的到来．而量子力学，当然是经典力学量子化以后的结果，虽然这背后有很多微妙的东西． 比如一个大角度的单摆，量子化起来就蛮麻烦的．
一些物理学家在内心深处有一个感觉，＂量子化程序，伊真是不厚道的．＂
标 题: ＜＜命运骰子——量子力学简史＞＞（第４７章）
发信站: 两全其美网 (Mon Nov 3 09:49:31 2008), 本站(lqqm.net)
＜＜命运骰子——量子力学简史＞＞（第４７章）
第４７章 昨夜西风凋碧树
（１）
王国维曾经说过， 读书有３种境界．读者们看到这里， 一定已经有了第一种境界，那就是＂昨夜西风凋碧树， 独上高楼， 望尽天涯路＂．
量 子力学是一条漫漫无迹的道路，比如量子计算，量子混沌，量子光学，量子黑洞，量子布朗运动，反正你可以想出来的学科，都可以有一个量子理论与之对应－－比 如还可能有一些比较象伪科学的＂量子金融＂，可以把经典随机变量换成量子变量，然后来做股票研究，但如果你把研究结论利用起来，投身中国股市，你将输得只 剩一条内裤． 总之，量子力学博大精深，海纳百川，也是藏污纳诟的地方，这本书读到这里，只体现出了王国维所说的第一层境界．
读者们在前面的章节已经读到爱因斯坦－希尔伯特作用量，也许觉得有点突兀．其实，本书中会不断谈到广义相对论和其他的几何学思想，所以一切在情理之中的．
为了在下面的章节谈论路径积分，在这一章要先熟悉一下拉格朗日力学．
如果可以，我们想问这样的问题：
１．假如牛顿没有发现万有引力，那么谁会发现它？
答案是－－－牛顿．
２．假如牛顿没有发现牛顿第二定律，那么谁会发现它？
答案很可能是－－－－拉格朗日．
众所周知的事情是，拉格朗日在很年轻的时候， 已经很有才情， 但他并不著名，为了出名，他给当时还活着的大数学家欧拉写了一封信．信里说，我找到了等周问题（给一根绳子，你圈最大面积的土地）的解答， 我把这个方法取了一个名字，就叫＂欧拉－－拉格朗日方程＂．
从此，江湖上大为吃惊的是，一个默默无闻的年轻人，写有一本书叫＜分析力学＞，这个书的作者的名字居然和欧拉放在一起．
这相当于现在有一个小瘪三，把自己的名字和杨振宁放在一起，发表一个定理是一样的．
（２）
拉格朗日的＜分析力学＞是一个公理化体系．他的书没有一张图，但经典力学已经被发展成为数学分析的一个分支．这在某种意义上来说，是集大成之作品，对当时代的人来说，这个书里只有一样东西，那就是拉格朗日量．
为了谈论方便，我们以具有动能Ｔ的单粒子在任意势场Ｖ中的运动来写出拉格朗日量Ｌ：
Ｌ＝Ｔ－Ｖ
拉格朗日量是广义坐标和广义速度的函数，粒子的运动方程就是欧拉－－拉格朗日方程． 当然，有了方程以后并不是说这个方程一定可以解出来，只有找到足够多的物理上的守恒量，这个欧拉－－拉格朗日方程才是可以在位形空间里确定出一根一维的轨道．
那些欧拉－－拉格朗日方程可以被解出来的物理系统被称为＂可积系统＂．这才是真正的物理学．如果没有可积系统，那么物理学家的人数会和大街上开出租的一样多．＂可积系统＂淘汰掉大量不适合搞物理的人转行进入新的领域．
（３）
经典物理学同时是一门简单的学科，拉格朗日量可以作证．任何人只要懂得了拉格朗日，做经典物理就象做爱一样简单． 一般来说，拉格朗日量的时间积分是作用量Ｓ．
经典物理学的简单性体现在，系统的动力学在作用量Ｓ取最小数值的时候发生．
这被称为最小作用量原理．
几何学里，还有一个原理，那就是在弯曲流形上的两个点，它们之间的距离以测地线为最短．这就是费马原理．
阿诺德的书＜经典力学的数学方法＞非常精彩，看这样的书才可能提高中国人的学术水平，因为这是拉格朗日数学分析思想的延伸．
拉格朗日告诉我们，轨道的作用量最小，而阿诺德告诉我们，我们可以把位形空间看成是一个微分流形，我们可以从拉格朗日量中构造出这个微分流形上的黎曼度量，从而把运动轨道看成是这个黎曼流形上的测地线．
（４）
昨夜西风凋碧树，经典力学虽然已经死亡，但它活着的时候，它曾经独上高楼， 望尽天涯路．它一直在等待着量子力学时代的到来．而量子力学，当然是经典力学量子化以后的结果，虽然这背后有很多微妙的东西． 比如一个大角度的单摆，量子化起来就蛮麻烦的．
一些物理学家在内心深处有一个感觉，＂量子化程序，伊真是不厚道的．＂
2008年11月1日星期六
Superstring！相关链接
Particle physics web sites:
- Contemporary Physics Education Project, includes the Standard Model wallchart and interactive tours
- The Official String Theory Website, a really nice web site about string theory
- The Elegant Universe, web site based on the PBS NOVA program on string theory
- "Superstring Theory" by Brian Greene, Cornell University
- "String Theory" by Robbert Dijkgraaf, University of Amsterdam
- Stephen Hawking's Universe, web site based on the PBS series has info on strings
- String theory in a nutshell, has a small collection of essays on string theory
- "M-theory, the theory formerly known as Strings", part of a larger and very nice web site from the Cambridge Relativity Group
- "Miniprogram on Brane World", ITP Conference, January 2002.
- "Avatars of M-Theory", ITP Conference, June 2001.
- "ITP Program on M-Theory", seminar series held January-June 2001.
- "String Theory: Is it the Theory of Everything?", ITP Teacher's Educational Forum, May 2001.
- "Duality, Spacetime and Quantum Mechanics", talk given by Edward Witten (IAS Princetion) at the ITP Public Lecture Series, January 1998.
- "String Duality and M-theory", talk given by Tom Banks (Rutgers) at the ITP program on Dualities in String Theory, March 1998
- Miniprogram on Geometry and Duality, Institute for Theoretical Physics, January 12 - 30, 1998. Lots of talks, very technical.
Some string theorists with interesting web pages:
- Martin Cederwall, Chalmers University and Göteborg University
- Robbert Dijkgraaf, University of Amsterdam
- Michael J. Duff, University of Michigan
- S.J. Gates, Jr., University of Maryland
- Steve Giddings, University of California Santa Barbara
- Brian Greene, Columbia University
- Michael Green, University of Cambridge
- Clifford Johnson, University of Durham
- Michio Kaku, City Univ. of New York
- Rob Leigh, University of Illinois at Urbana-Champaign
- Wolfgang Lerche, CERN
- Dieter Lüst, Humboldt University, Berlin
- Joseph D. Lykken, Fermi National Accelerator Laboratory
- Juan Maldacena, Institute for Advanced Study, Princeton
- David Morrison, Duke University
- Sunil Mukhi, Tata Institute of Fundamental Research
- Bengt E W Nilsson, Chalmers University of Technology and Göteborg University
- Amanda W. Peet, University of Toronto
- Joe Polchinski, Institute for Theoretical Physics, Santa Barbara
- John Schwarz, California Institute of Technology
- Warren Siegel, State University of New York, Stony Brook
- Edward Witten, SNS IAS Princeton
This is where we look every morning to see what new papers have appeared. All the latest results in string theory and high energy physics appear here first! This is the backbone for cutting edge research in the field. (CAUTION: This is not a recreational web site! The preprints that appear here are very technical.)
- Matters of Gravity The newsletter of the American Physical Society Topical interest group
in Gravitation
(to be held in Toronto, Canada)
(to be held in Paris, France)
Homepage for the 2003 conference at Kyoto, Japan
Homepage for the 2002 conference at Cambridge, England
Homepage for the 2001 conference at Mumbai, India
Homepage for the 2000 conference at University of Michigan, Ann Arbor
Homepage for the 1999 conference at the Albert-Einstein-Institut in Potsdam, Germany
Homepage for the 1998 conference at U.C. Santa Barbara
Homepage for the 1997 conference in Amsterdam
Proceedings of the 1996 conference on string theory at the Institute for Theoretical Physics at Santa Barbara.
Proceedings of the 1995 conference on string theory at USC
Superstring！术语表
玻色子
我们所知道的所有粒子不是玻色子就是费米子。玻色子整数自旋：0，1，2等。服从波色统计，在同一个量子态可以占据任意多的玻色子。光子，引力子，W和Z粒子都是玻色子。
电磁力
这是我们所熟悉的电力和磁力。在“量子电动力学”（QED）中是由U(1)规范理论描述的。媒介粒子是光子。
电磁力和弱力统一成电弱力。这是SU(2)xU(1)规范群描述的。
所有已知的粒子不是费米子就是玻色子。费米子具有半整数自旋量子数：1/2,3/2等。服从泡利不相容原理，也就是说同一个量子态不能被两个费米子占据。费米子有电子，质子，种子，夸克等。
这是规范对称性下的相互作用的媒介粒子。自旋为1，有时候也称为矢量玻色子。在标准模型中玻色子是胶子，光子，W粒子和Z粒子。
大多数成功的粒子物理学的模型都是基于规范对称性的概念。这样的理论中，各种场可以相互变换。所允许的规范变化是由理论的规范群所限制的。我们在时空中的任意点做不同的规范变换的时候，在这些变换下，理论是不变的，也就是说，理论具有局域规范对称性。
这是一个简写："Giga electron volts" ，意思是，十亿电子伏特。1电子伏特就是：把一个电子移动通过一伏特电势所需要的能量。电子本身的静止能量是0.0005GeV，光子是0.938 GeV。目前世界上最大粒子加速器的能量到达1000 GeV。为了直接探测弦的尺度，我们需要到达 10^18 GeV。
我们四个基本力之一，引力是最弱的，这是一个吸引力，作用距离可以达到无穷远。在宇宙的大尺度下，这是一个主要的里，比如对于恒星，星系，星团等。爱因斯坦的广义相对论是引力的经典理论。超弦理论一个主要的胜利是：这是一个量子引力的自洽的理论（在低能极限下包含了广义相对论。）引力的媒介粒子是自旋为2的引力子。
N x N 正交矩阵的行列式为1。正交的意思是，转置矩阵是矩阵的逆。
我们认为我饿时间是3维空间，1维时间。从狭义相对论知道，时间和空间是不可分割的。所以我们成为4维时空。点状粒子在时空中的运动轨迹是一个不变对象：“世界线”。我们所测量的时间和空间的尺度依赖于我们给定的参照系。通过简单的加入更多的空间维就可以推广到更高维空间（十维时空是9维空间1维时间）。
这是一个非常成功的理论的体系，对于我们当前实验所能达到能量下，可以描述所有的力。SU(2) x U(1) 描述的是电弱力，SU(3) (QCD)描述的是强相互作用力。广义相对论描述的是引力。各种粒子的相互作用总结在diagram from the Particle Data Group。更多的信息可见The Particle Adventure。
四个基本力之一，强力是把夸克束缚成核子，比如质子，中子等。在高能情况下，强力变弱。这是SU(3) 规范理论，我们成为 “量子色动力学” (quantum chromodynamics， QCD)媒介粒子是胶子。
这是行列式为1的N x N 幺正矩阵。幺正的意思是矩阵的转置共轭为原来矩阵的逆。
理论统一了玻色子和费米子。我们所知道的所有粒子都有他的相反类型的“超伙伴粒子”（比如，费米子的superpartner是玻色子，反之亦然。）。最新的高能加速器的主要目标是发现superpartner，从而找到超对称的证据。超对称在弦理论模型中是一个根本的组成部分。因此“super”就是“superstring”。
这是点粒子量子场论的特殊的超对称，引力子超多重态中的一个。引力子是自旋为2的玻色子，它的超对称伙伴粒子是自旋为3/2的费米子，我们成为"gravitino"。
这里指的是一个理论的请耦合极限下的情形可以由另外一个理论的弱耦合极限描述。而这两个理论都在弱耦合情形，这是两个很不同的理论。而一个强，一个弱耦合时，描述的是同样的物理学。
这指的是一个弦理论紧致化在一个半径为R的圈上，而另外一个弦理论紧致在半径为1/R的圈上，他们描述相同的物理学。因此，一个理论是在一个很小的圈上，而另外一个是在很大的圈上。
Superstring！概要
超弦理论是一个非常激动人心的研究领域，因为这是一个描述我们宇宙的的潜在的重要的正确理论。所有的要素是：量子物理学，玻色子，费米子，规范群和引力。这个理论包含D-膜和弦对偶，在最近几年我们对于理解这个理论的结构取得了巨大的进展。弦理论已经被应用于黑洞物理学以及量子引力的研究。然而，我们还需要做更多的工作。
希望你能喜欢这个主题的介绍。获得更多的信息请看：进一步阅读。
Superstring！黑洞
（回到目录） 
引力的经典描述是广义相对论，这个理论包含了的一个解是：“黑洞”。存在一些不同类型的黑洞解，但它们具有一些共同的特性。视界是时空中的一个面，粗略的说，把黑洞和外界分开的一个面。黑洞的引力是如此之强，因此任何东西都不可能传出视界面，包括光也不能逃出黑洞的魔爪。经典的黑洞解相对来说比较平凡，可以由一些参数来描述：质量，荷以及角动量。
黑洞对于弦理论来说是一个很重要的“实验室”。对于大型黑洞而言，量子引力的效应是重要的。黑洞不是真的“黑”，因为黑洞也有辐射。用半经典的话来说，Stephen Hawking 证明了在黑洞的视界上存在热辐射。既然弦理论包含一个量子引力理论，那就应该可以用一种自洽的方法来描述黑洞。事实上，有黑洞解满足弦的运动方程。这些运动方程吧广义相对论方程和一些其它的来自于弦理论的物质场组合在一起。超弦理论也有一些特殊的黑洞解，这些解本身是超对称的，它们具有同一个超对称。
最近，弦理论中一个很有突破性的工作是，通过计算构成黑洞的微观弦态导出了黑洞的Bekenstein-Hawking 熵公式。Bekenstein注意到黑洞服从“面积定律”，dM = K dA，A是视界的面积，K是比例常数。既然黑洞的总质量M正好是黑洞的静止能量，Bekenstein意识到这类似于熵的热力学定律，dE = T dS。霍金后来进行了一个半经典的计算，证明了黑洞的温度是由公式T=4k给定的（这里K是常数，称为“表面引力”）。所以，黑洞的熵应该写作：S = A/4。物理学家Andrew Strominger 和 Cumrin Vafa证明了精确的熵公式可以被导出，他们是通过数出对应于弦理论中黑洞的弦和D-膜的位形的量子态的简并度而导出的。D-膜可以提供某些黑洞的短距弱耦合描述！比如，由Strominger 和 Vafa研究的黑洞的类可以由5-膜，1-膜（和开弦traveling down 到1-膜所有卷在一个5维的轮胎面上），这样给出了一个有效的一位对象——黑洞。
霍金辐射不但可以用同样的位形来理解，而且也可以用两端都运动的开弦来理解。开弦相互作用时，辐射出来的是闭弦系统衰变成上面给出的位形（configuration）。
直接的计算给出了某些类型的超对称黑洞，弦理论的答案和半经典超引力的答案是相吻合的，这包含了和灰体因子这样的矫正相关的非平凡的频率。这就进一步表明了弦理论是描述量子引力的正确的自洽的理论。
Superstring！M-理论
M-理论在低能的情况下有一个有效的理论描述：11维超引力。这个理论有一个膜和一个5-膜孤子。但是没有弦。那么我们怎么从中得到弦呢？我们可以紧致化第11维的M-理论在一个小圈上，得到一个10维的理论。如果我们对轮胎面拓扑去一个膜，并且把其中一维紧致化成一个圈，那么这个膜将成为一个闭弦！在这个极限下，圈成为非常小的，我们就回到了IIA超弦。
我们怎么就知道在一个圈的M-理论给出IIA型超弦，而不是别的弦呢？这个答案来自于对无质量场的仔细的分析，这个我们所得到的场紧致化超引力的第11维到一个圈。另外一个检查的方法是，我们发现一个来自于D-膜态的M-理论对于IIA理论而言是唯一的。回忆起IIa理论包含D0，D2，D4,D6,D8-膜，也包含NS 5-膜。总结如下：
| M-theory on circle | IIA in 10 dimensions |
| Wrap membrane on circle | IIA superstring |
| Shrink membrane to zero size | D0-brane |
| Unwrapped membrane | D2-brane |
| Wrap fivebrane on circle | D4-brane |
| Unwrapped fivebrane | NS fivebrane |
还有两个D6和D8-膜没有列出来。D6-膜可以被解释为“Kaluza Klein磁单极”，当理论紧致化超引力的第11维到一个圈的时候，这是11维的超引力的特殊解。对于D8-膜，M-理论现在并没有给出一个清楚的解释，这是当前的研究主题！
如果我们紧致化M-理论到一个小的线段，我们可以得到一个自洽的10维理论。也就是说，把一维（第11维）取为有限的长度。线段的端点定义了具有9个空间维的边界。开膜可以终止于这些边界上。既然膜和边界的交集是弦，我们可以看到每个边界的9+1维的世界体可以包含一些弦，这些弦来自于膜的端点。为了在超引力中抵消反常，我们也需要每个边界具有一个E8规范群。所以，我们把边界间的空间取的非常小，这样我们可用E8XE8规范群得到一个10维的理论。这就是E8xE8 Heterotic弦！
因此我们从弦论间的各种对偶可以知道，我们得到了一个激动人心的结论：基本理论是唯一的，那就是M-理论。
Superstring！弦对偶
（回到目录）
在弱耦合理论中，五种弦论是很不同的。事实上，我们可以通过各种弦对偶把他们关联起来。两种理论描述的是同一物理学的时候，我们就称他们是对偶的。
我们讨论的第一种对偶是：T-对偶。这种对偶是把一个紧致化在半径为R的圈上的的理论和另外一个紧致化在半径为1/R的理论关联起来。当一个理论中的一维卷成一个小圈的时候，另外对应的一个理论有一维卷成一个大圈（这显然没有被紧致化），但是他们描述的是同样的物理学！IIA和IIB型的超弦理论是由T-对偶关联起来的，SO(32) Heterotic和E8XE8 Heterotic理论也是由T-对偶关联起来的。
下面我们考虑S-对偶。简单地说，就是把一个理论的强耦合极限和另外一个理论的弱耦合极限关联起来（两种理论的弱耦合描述是相当不同的。）。比如，SO(32) Heterotic弦和I型弦论在10维中是S-对偶的。这意味着SO(32) Heterotic 弦的强耦合极限是I型弦论的弱耦合极限，反之亦然。对于发现强弱耦合的对偶的证据的一种方法是：比较两种理论的轻的态的谱，并看他们是否吻合。比如，I型弦论有D-弦态，该态在弱耦合下是重的，而在强耦合下是轻的。SO(32)Heterotic弦的世界面上，D-弦具有同样的轻的场，因此I型弦论具有强耦合的时候，D-弦变的很轻，同样的过程出现在Heterotic的弱耦合极限下。其他的一个10维中的S-对偶是IIB弦的自对偶：IIB的强耦合极限是另外一个IIb弦论的弱耦合极限。IIB弦论也有一个D-弦（但比I型D-弦具有更多的超对称，因此是不同的物理学），这在强耦合下成为轻的态，但这个D-弦看起来像另外一个基本的IIB型弦。
1995年，物理学家和数学家Edward Witten率先提出了一个思想：IIA 和 E8 x E8弦可以通过一个新的11维的理论关联起来，这就是“M-理论”。具有这个关系后，所有的弦理论就可以通过一个对偶链关联起来了。这些对偶就提供了这样一个证据：所有的不同的弦论描述都是同一个物理学内容。每一个理论都有自身的正确的范围，在某种极限下，另外一个弦论就变的更为重要，而第一中弦论就不再适用。什么是“M-理论”呢？我们看下面一页。
Superstring！额外维：Kaluza-Klein 理论
超弦理论描述的是10维时空，但我们观察到的时空是4维的。我们需要知道的是超弦理论能否描述我们的宇宙。因此我们把其中6维空间蜷曲成小的紧致的空间。如果紧致空间的尺度是弦的尺度(10-33 cm)，那么我们就不能直接探测这些额外维——它们太小了。这样最终的结果就回到了我们熟悉的（3+1）维世界。但是，我们的维的宇宙中每一个点上都有一个很小的6维的“球”。下面是一个非常直观的图形：
这是一个古老的思想，可以追述到20世纪20年代的Kaluza 和Klein的工作。这种机制通常被称为Kaluza-Klein理论或者是紧致化。在Kaluza开创性工作中，他证明了：如果我们从5维的广义相对论出发，然后把其中一维卷曲成一个圈，那么我就回到了广义相对论的4维理论，并加上了电磁场！为什么是电磁场呢？因为那是U(1)规范理论，U(1)规范理论恰好就是绕着一个圈的转动群。如果我们假设电子有一个自由度对应于这个圈上的某个点，并且，这个点在圈上是可以自由变换的，我们发现理论必须包含光子和电子，这两种理论是服从麦克斯韦方程组的。Kaluza-Klein机制简单的给出了这个圈的几何解释：这个圈来自于真正的第5维，但是这是卷曲起来的。在这个简单的粒子中，我们看到虽然紧致维可能小到无法直接探测，但是它们仍然有重要的物理意义。（Kaluza 和 Klein的理论是很多关于第5维的科幻小说的起源。）
如果存在额外维的话，如果我们的加速器有足够高的能量的话，我们怎样才能探测到他们呢？从量子力学我们知道，如果一个空间维是周期的，那么动量在这一维中是量子化的，p = n / R (n=0,1,2,3,....)，如果这个空间维没有限制的话，那么动量的值是连续的。当紧致维的班级减小时（圈变的更小），那么所允许的动量的差变的非常大（n/R-(n-1)/R）。这样我们得到一个Kaluza Klein动量态图：
如果我们取圈的半径很大（这个维度是退-紧致化的），那么那么动量就可以从离散变成连续。这些Kaluza-Klein动量态将给出非紧致世界的质谱。特别的，在更高维理论中的无质量态，将给出低维理论中的等间距的有质量态，这就是上图所描述的。粒子加速器上可以观察到一些等质量间距的粒子。不幸的是，我们需要一个能量非常大的加速器，才能看到最轻的有质量粒子。
在紧致化的时候，弦论有一些令人着迷的特性：他们可以缠绕在一个紧致维上，得到质量谱中的缠绕模式。闭弦可以缠绕在周期维上n次（n是整数）。类似于Kaluza-Klein 情形，这样的缠绕可以贡献动量：p = w R (w=0,1,2,...)。这里有一个重要的差别，动量是正比于半径R的。因此紧致维非常小的时候，这些缠绕模式变的非常轻！
要得到我们的4维世界，我们需要把10维的超弦理论紧致化在一个6维的紧致流形上。无需多数，上面所描述的Kaluza Klein图像就变的更为复杂了。一直简单的方法就是把其中6维变成6个圈，这就是6维的轮胎面。
这样我们需要太多的超对称。我们相信某些超对称存在于我们的4维的世界在能标高于1TeV以上（这也是当前最高能的粒子加速器的研究热点！）为了确保最小的超对称，N=1在4维时空中，我们需要紧致到一个特别的6维流形上，即卡-丘流形。
卡-丘流形的特性，在低能物理学中有重要的应用，比如，所观测到的粒子的类型、质量、量子数以及代的数目。在这个领域中一个重要的问题是存在很多的卡-丘流形（数百万个！），我们不知道该用哪个！我们从一个唯一正确的10维弦论出发，在这个意义上，我们发现了4维物理学的可能性远远不是唯一的，至少从我们当前的理解来看。弦论学家长远的期望是了解弦论的整个非微扰结构，这将有助于我们给出一个关于我们的宇宙如何、怎么样从10维的物理学中出来的解释。这个问题是和宇宙大爆炸的高能状态期间是相关的。也许这样我们将会发现为一个我们所需要的卡-丘流形。Andrew Strominger的一些重要的工作已经证明了卡-丘流形可以被连续的链接起来，这是通过conifold transitions做到的，这样我们就可以通过调节理论中的参数而做到在不同的卡-丘空间中移动。这意味着，各种来自于不同卡-丘流形的4维理论确实是基本理论的不同状态。
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