标 题: 《命运骰子---量子力学简史》（第50章）
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《命运骰子---量子力学简史》（第50章）
第50章 引力场中的路径
（1）
爱因斯坦躺在床上，思路百转千徊，画在草稿纸上的世界线似有千千结。他不知道如何把狭义相对论和引力场结合起来----让那些世界线如同舞女一样扭动弯曲曼妙的细腰.想着想着，也就沉沉得睡着了。
这是1907年的情景，爱因斯坦还是伯尔尼专利局的职员，他有一个叫贝索的哥们，也在这里上班。他经常和贝索一起讨论学术问题----说实话他发现贝索虽然和自己职位相当，但智商确实比自己低了一点点。
这时候狭义相对论已经给他赢得了声誉，一些大学开始邀请他去当教授。
广 义相对论其实是描述万有引力的一门学问。爱因斯坦后来出了名以后，有一群大傻子经常问他到底什么是相对论。爱因斯坦不胜其烦，于是这样给普罗大众介绍相对 论的，他说：“引力不是人们坠入爱河的原因所在。人世间，初恋是如此重要的生物现象，你怎么可能根据化学和物理学来解释呢？把手放在火炉上一分钟，你会觉 得像一个小时那么久。而和你心仪的女孩偎依在一起一个小时就像一分钟那么短暂。这就是相对论。”
结果大多数白领听了这段话以后，唯一能记住的是最后那一句另人有性萌动的话。如此看来，贩夫走卒引车卖浆之徒更无法真正理解爱因斯坦。
引力场为什么那么难懂呢？ 因为引力场实际上不能用一个标量函数来描述，而是一个4乘4的矩阵。在某种意义上，我们也可以称爱因斯坦的广义相对论是一种“矩阵场论”。
（2）
牛顿是把引力场（势能）看成一个标量函数的。这个标量函数满足的是拉普拉斯---泊松方程。历史的发展并不那么生猛----历史的发展是缓慢的,是一段一段很轻很柔和的舞曲。
慢慢地说，我们要先来看一看牛顿引力场中的物体运动的路径。
为了简单起见，我们在地面上做物理，那么万有引力场的大小可以被看成是一个常数。这称称为重力场。这已经是最简单最简单的初中物理了。
在这样的重力场中，大师傅伽利略上场了。 他和惠更斯一起，盯着教堂里的钟摆看了很久很久。
“单摆的周期是恒定的。”惠更斯说，“摆动周期与摆角大小无关，引力场那么神奇的。”
大师傅伽利略也是很奥妙的，他在比萨斜塔上丢了几个质量不一样的石头。
“重的石头和轻的石头是同时落地的，引力场那么神奇的。”
这两个哥们一个没有考虑大角度单摆的导致的椭圆积分，一个没有考虑空气阻力导致的动力系统吸引子。不过都是大师，这样的时代背景灯光下，牛顿宛如一个脱衣舞娘，引起众人的围观。
（3）
牛顿的脱衣舞是不能长时间占据眼球的。于是，一个新的问题就出现了，那就是“最速降线”的问题。 如果在平面重力场中，高处有A点，低 处有B点，如果A，B不在一条铅直线上，那么，在两点之间连一条曲线，问什么曲线能让小球沿这个轨道滑下来用的时间最短。
牛顿当然思考这样的问题，但不知道怎么做。问题留给了伯弩利家族。 伯弩利兄弟自然是技压群雄，解答了这个问题。
如果读者们有兴趣，可以写出这个时间的积分。
ds是曲线的弧长，v是速率。
这个积分写在直角坐标系中，根据能量守恒，一定是很容易写的。 问题的关系是，你要求t最小，但曲线的形状y（x）没有确定，所以这个积分实际上是一个泛函（注：t是函数y（x）的函数）。
最速降线的t是路径y（x）的一个函数。 这一点是非常重要的。----如果读者们有宏大的视野，可以相信，这个问题可以用光线在一个变化折射率的介质中的传播时间最短来模拟。但无论这个问题的模型是什么，总之，这是一个欧拉--拉格朗日变分问题。
（4）
好了， 以上这个积分其实可以看成一个阿贝尔变换。 阿贝尔是挪威的青年，他的生命短暂，但万古长年，死后2000年，只要还有人类，依然会有人怀念他。他曾经也考虑过引力场中的路径问题，不过换了一个版本。
阿贝尔的问题是：如果有一个山，一个小球因为重力从山上滚下来的时间T是山的高度h的函数T（h）。T（h）的表达式就是上面我们讲的积分，如果你已经知道T（h），那么你能不能反推出这个山的形状。
答案是肯定的，这就是阿贝尔变换存在反变换。正如傅里叶变换存在反变换一样的。
阿贝尔已经死了，阿贝尔死的那个晚上千红一哭。 爱因斯坦还活着，爱因斯坦并不清楚阿贝尔的故事，也不清楚阿贝尔祖国的另外一个高手李发明的李群。
有很多东西是爱因斯坦不知道的。
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