微分几何笔记讨论班的粗略总结Chp8-1

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Chapter 8 Complex Manifolds
8.1 complex manifolds
在复变函数中，在坐标，变换下，柯西黎曼条件是：

这是一个映射，我们称映射是holomorphic（全纯的、解析的）。
现在我们考虑一个映射，其中，并且满足：


则，我们称每个函数 是 holomorphic。
8.1.1 Definitions

是一个复流形，如果满足一下4条公理：

• 是一个拓扑空间；
• 具有一族；
• 是一族M的开覆盖；
• 的交不为空，则有一个映射是holomorphic。

复结构：
如果两个图册和都是流形M的的坐标卡，并且两个的并仍然是M的一个坐标卡，显然并后仍然满足上面四条公理，所以两个图册定义了同样的复结构。

8.1.2 Examples
例子 8.1
对于球极坐标的投影，我们可以从这个视频中有很直观的了解（视频）。
当我们建立了投影面的坐标和后，并且有一个重要的关系，
（eq.1）。
这里解释为什么中的“-”（定向）：

• 定向投影，要求雅可比行列式大于0，，因此必须有“-”号；
• 从(eq.1)我们可以知道，这是一个解析表达式，因此必然holomorphic，因此，比如满足。

球极投影

其中第二点，T同学的论证简单明了～赞一个！

例子 8.2
在复平面上，定义了一个格子，我们要求，，这个意思就是不平行（因为平行就不能定义格子了（Lattice））。
如果我们令，那么，一方面把这个复平面映射到这个格子上，另外一方面，把这个格子等同（同胚）于轮胎面!
下面要考虑的问题是：如果我们再给出一个格子，这两个格子是否定义了同样的复结构呢？
一个角度：当然，如果两个格子等价，那么它们就定义了同一个复结构，另外一方面，如果两个格子定义了同一个复结构，相差一个负号的话，由于是整数，即它们满足关系时。

另外一个角度：如果之间存在一个1-1全纯映射，也就是说，两个格子定义了同一个复结构，那么我们可以构造映射，这就构造了一个交换图，那么我们就得到也是一个1-1全纯映射，因此，必须是一个线性映射:，因此，只要满足关系：，定义了同一个复结构。但是差一个常数因子。
此时，定义了同样的格子，，对应的定义了同一个复结构。
那么我们如何去除掉这个常数因子呢？

给出两个 modular tranformation：

对应于，我们假设卷成子午线，卷成经线。但是对于而言，原来轮胎的子午线不变，而经线变成了。这一过程的图形描述是：先沿着一条子午线切开，然后保持一个端口不变，令一个端口沿着子午线扭转360度，再次粘合。由于轮胎是一个光滑流形，那么通过连续变换总是可以变回原来的轮胎，因此具有同样的复结构。Figure 8.4(a)
对应于，依然假设卷成子午线，卷成经线。那么变换的图形描述是：
把子午线剪开，把经线剪开，剪开的子午线粘合成经线（即轮胎中间有个洞），把剪开的经线粘合成子午线。因此也具有同样的复结构。Figure 8.4(b)

问题不明白：
为什么说模变换是由生成的呢？

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