微分几何笔记讨论班的粗略总结Chp7-1

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微分几何讨论了一个学期了，现在是第二个学期开始讨论，以后就把讨论的笔记粗略的总结在这里....
参考教材 IOP 2002 Geometry, Topology and Physics by M. Nakahara

Chp7. Riemmannian Geometry

1、黎曼流形和Pseudo-黎曼流形
Riemannian manifolds 度規正定；
Pseudo-Riemannian manifolds 度規不一定正定，比如 Lorentz metric.
2、诱导度規
M 是一个m维的 Riemannian manifolds, 是n维Riemannian manifolds N 的 sub-manifold, g_N是流形N的度規，so, the pullback map f* induces a metric g_M=f*g_N。
3、平移
在流形上平移，没有很自然的方法，因此我们要给一个定义，这样就就引入了联络\Gamma，这里要注意到的是，保持距离不变。
4、仿射联络
仿 射联络是一个映射，简单的说，把两个矢量映射到一个矢量，这样就可以更具体的算出在“平移”中得到的联络\Gamma，这里联络不是张量。这里平移给出了 一个定义：一条曲线c(t),其上任意一点的切矢量为 V(t)，那么当X对V的仿射映射为0时，就说是：矢量沿着曲线c(t)平移。
5、测地线
如果上面的X取为何V一样，并映射到零，那么曲线C(t)称为geodesic。
6、张量场的协变微商
仿射对光滑函数，矢量，张量均可作用，在不同的坐标系下，可以得到两个坐标系中联络的相互关系，这是很重要的，可以证明一个量是联络还是张量。
7、度規联络
度 規联络在广义相对论中有重要的应用，当一个距离仿射到0的时候，我们可以得到该度規是 compatible，这是一个重要的概念，后面会根据这得到联络的对称性，即Levi-Civita connetion。根据此也可得到 torsion tensor & contorsion tensor。
8、Riemann curvature tensor
和前面的Affine映射不同，Affine是把两个矢量映射到一个矢量，而Rct是把两个矢量构成的张量即(2,0)型张量映射到一个矢量即（1,0）型张量，也可以是三个矢量构成的张量映射到一个矢量。
9、Riemann tensor & torsion tensor的几何意义
一个矢量沿着不同的路径移到同一个点后两个实例的差，即为Rt,一个矢量沿着两条无穷小的路径移动，把这两条无穷小的路径看作是矢量，那么移动后的两个矢量之差即为他torsion tensor，Rt=0，但torsion不一定为0。
10、可平行化
m维流形，在流行上处处存在m个矢量线性无关，那么我们称这个流形是parallelizable。比如说Lie Group。
11、Levi-Civita connections
对于（Pseudo-）Riemannian manifold 而言，如果metric is compatible，那么，存在且唯一一个联络就是Levi-Civita connections。这里最重要的条件是 compatible metric g。

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