原文来自：Why canonical GR cannot work
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模糊翻译：即保持原句表达意思，但不追求翻译精度。
一位叫做Giotis的读者在Shores of the Dirac Sea 这个帖子上问：为什么我总是那么肯定正则量子化不能在广义相对论中使用？现在让我来回答这个问题，并追寻那些已经建立的理论。
经典引力
Classical gravity
首先，当我们说引力的正则量子化的时候，我们必须有正确的出发点。这就是广义相对论。这个理论假定在时空中的每一个点都有度規张量，该度規张量满足某些方程。
那么它是正确的吗？对于刻画宏观尺度的所有现象，在很高的精度下，该理论是正确的。在任意区域的度規可以用直尺和时钟直接测量。这些就是爱因斯坦方程组，并且在非相对论情况下，自动满足牛引力方程。所有老的引力观察都支持爱因斯坦方程。实验所支持的等效原理很好的决定了该方程的具体形式。
一旦你看完本文，你会很喜欢爱因斯坦的工作，并且对广义相对论很有信心。因为广义相对论在经典的层面上得到大量的实验支持。该理论不可避免的预测了引力波的存在，黑洞以及宇宙的膨胀。
如果你想推翻具有度規的爱因斯坦方程，并给出正确的在大尺度下引力物理学定律，那么你就提出了一个有别于广义相对论的理论。但是你的理论必须得到实验的支持。因为在20世纪和21世纪，广义相对论成功的解释了大量的观察数据。
剩下的内容，我们探讨量子化问题。
量子化：什么被保留？
Quantization: what is preserved
我们已经决定，度規张量必须存在，至少在某个大距离近似下存在。在经典物理学中，物理量在随系统演化后的数值也是确定的。对于一个理论，必须和量子现象以及经典引力想象所描述的一致。而这样的变量必须在你的量子理论中保留下来。
这意味着什么？这些变量必须成为算符。看起来像动力学演化的可观测量（一个自由度），对应于量子理论，在经典理论中必须成为一个线性算符。在经典极限下，算符的期望值给出经典值，相对来说，量子涨落是小的。
为什么我说的是线性算符？因为量子力学是仅有的一个理论，对于量子现象的观测解释，比如电子相干实验。你可能还是拒绝这个断言～如果这样的话，你不得不从头开始找一个理论来解释所有的20-21世纪的量子实验。那么你需要更多的运气了。
这里可以看一片我的文章，这是关于量子纠缠的。量子力学的解释，退相干，这些揭示了想替换量子力学的几率本质的各种尝试都是不成功的。
在很短的距离下，物理学再次变成经典的，这对你来说，最无聊的事情莫过于此。相反，你所研究的物理系统的尺度越小，量子现象变得越重要。
就像上面PDF文档中所解释的，几率刻画是量子力学的一个非常重要的方面，这已经由实验证明了。其它的假设，如线性厄米算符，哈密顿量，这些都是“几率守恒”以及物理现象的局域现象（不能在瞬间就能影响到远处的事件）所要求的，这些假设即是对于数学逻辑上成立，也是为实验所验证的。
量子理论得到的结论在经典极限下同经典物理学得到的结论应当吻合。
量子化：带标度的算符
Quantization: operators with a scale
这时，我们应该相信在时空中的每一个点，必须存在度規张量，至少在近似的情况下，算符也必须是线性算符。什么是近似？理论所预测的误差必须小于那些已经被验证的理论所假设的误差。
所有的自由度必须依赖于希尔伯特空间的线性算符，这个假设不能直接和实验相关。这是一个数学事实：可以设计一个理论同量子力学假设相违背，但是同样可以成功的描述所有的观测的物理现象，这是不可能实现的（除了那些没有任何意义的量子力学的补充或修正）。这点在我们的博客中已经讨论过多次了。但这不是本文的主要目的：我们不想去证明GR正则量子化的错误，让我们假设度規张量是大尺度下的物理学描述的算符。
好，这些算法必须存在，如果我们想更精确一点呢？度規张量的分量必须是一个好的算符，在足够大的宇观尺度下，我们可以对度規张量取平均。现在，让我们取一个截止（cutoff）尺度L，在大于L时，广义相对论已经能够很好的描述了。然后想象在毫米尺度下用直尺和时钟来测量引力，然后想象L趋向于普朗克长度10^{-35}米。
到目前为止，我们得到什么了呢？我们有一个理论必须包含一个算符，这个算符对应于时空尺度为L的区域中的平均度規张量。这些假设已经被实验证明了，也就说，引力子必须存在。（对于黑洞，应用同样的近似可以证明，黑洞辐射并有非零熵。）
引力波来自于经典的GR（我们已经观测了那些正在缓慢坍塌、加速的双星系统）。一旦你引入量子假设，任何频率为f的波的能量是：hf。引力波也没有例外，对应的量子称为：引力子。如果不了解引力子，那么就不能了解任何量子引力。
计算圈
Computing loops
好，一个问题现在才变得有意义：让引力波相互碰撞会发生什么？在量子理论中，我们能够计算的仅仅是来自于复几率幅的几率（截面）。因为波是由引力子构成的，实际上我们可以把这个问题简化为引力子散射的界面计算。那么必须找到一个正确的引力波的量子理论，它能包含所有经典的引力波的信息。
就像前面指出的一样，我们现在所使用的理论直接来自于观测。那么我们如何计算引力子的散射幅？好，你可能会用费曼图，路径积分或基于算符的正则方法。再次发现，这些具体的推导将会让你得到大量的费曼图。这些树形图不包含普朗克常数：这些图将重新给出所有关于经典引力波及相互作用的信息。
圈图正比于普朗克常数的的正次幂：这些图对应于量子矫正。你应该对他们做些什么呢？可以把它们都扔掉吗？好，如果你的实验是经典的（非量子的），那么你可以把这些圈图矫正忽略掉。你得到的结果和经典的GR相吻合，虽然这些结果是用新的量子语言。
但是，很明显，我们研究量子引力是为了知道经典理论的量子原理。因此我们不能忽略它们。它们可以是相对大的。现在，经典极限和大尺度极限从推理上是相互独立的极限。换句话说，正比于普朗克常数的矫正和在截至尺度L下的物理学中的矫正是无关。
那么我们该重视那个极限呢？我们可以放弃来自于截至尺度L下的物理学矫正，因为在这个尺度下的区域不能被测试。但是我们不能放弃量子矫正，因为量子力学已经被建立，并且它的假设是普适的。就它们的德布罗意波长而言，是大于L的，因此，圈图中的“虚粒子”是真实的。
直尺的长度是L或者更大的情形，这些细节在实验上已经被测试了：这些支持直接测量度規张量，它们的度規张量是一个算符，该算符必须在尺度大于L时存在。
现在，你可能怀疑虚粒子的典型的德布罗意波长比我们所假设的L更短，可能会有些新的对象（龙及它们奇怪的相互作用）出现在这个区域中。实验上，我们还没有仔细的测量这些问题。
圈图发散
Loops: divergences
正如你所知道的，圈图导致发散。在我们的计划中，我们简单的把那些德布罗意波长小于L的虚粒子的贡献剔除掉。这小于尺度L的区域中的贡献是不可信任的。然而，我们还是必须直面在很短距离下的贡献，虽然我们现在对此还一无所知。
还有一件事我们知道的是，总几率幅是有限的。因此无论在短尺度下的物理学是什么样的，但应该抵消任何发散。发散，意思是几率幅反比于L的正次幂（或对数）。当L趋向于零时几率幅为无穷大。
从上面的评论看来，物理什么样的正确的理论，都会在散射幅中产生一些额外项（通常出现在拉氏量里），这些项加上其它的项导致几率无穷大。这些额外的项产生了尺度小于L区域中的神秘的物理现象。就是：计数项(counterterms)。
计数项是必须存在的，这是产生散射幅发射的原因。1985年，Goroff 和 Sagnotti 计算了散射幅中的所有单圈图，以及二圈发散项（以及有效拉氏量）。你可以理解这一点，这个计算从原理上来看是直接的。
也可参考: Finiteness of SUGRA theories
最重要的结果是有一个发散项（一个所要求的计数项），该项来自于二圈费曼图（有14个不同的拓扑）中三引力子散射的贡献。从拉氏量的层面来看，该项正比于sqrt(-g)×Weyl Tensor的积分。其中，系数包含了一个发散因子1/epsilon（在维数正规化方法中，可以把1/epsilon当作log(L)），还有一个令人印象深刻的系数，209/2880 × 1/(4.pi)^4。
计数项的重要性是什么呢？这证明了无论什么样的短距物理学（小于尺度L），肯定会影响同一个波中的三引力子散射，这个影响可以作为拉氏量中加入的额外R^3型的项。但是，当L趋向于零时，R^3的系数发散。
计数项（Counterterms）和不确定性
Counterterms and uncertainty
现在你应该意识到如果把两个无穷大相减，会出现一个不确定的数。也许结果是无穷大或者负无穷大。但是我们知道最终的概率是有限的，差必须是一个有限的数。只是我们不知道这个数是什么。
换句话说，每个计数项去掉某些发散的同时也把新的有限大小的参数引入到理论中。
无需特别说明，两圈发散图恰恰是一个“概念证明”，当继续计算更高阶圈图时，会无法避免的遇到一些新类型的发散。这会带来无穷多的计数项，同时有无穷多的新的不确定的系数。这样的理论我们称为是不可重整化的。
为什么这是一问题？好，如果我们想计算某些类型问题的结果，两个在普朗克能量量级的引力子碰撞并产生三个引力子，其动量在同样的区间，我们想知道这个几率的话，那么我们就需要知道这些系数，以及所有的相关的内容。事实上，这些相关内容的重要性事等同的，只是他们现在还都不能确定，理论并没有告诉我们什么。也许我们会做大量的普朗克能量下的散射的测量以确定所有的参数，那样的话我们可以做一些有用的计算。
很清楚，在实际中，这样类型的测量我们一次都无法做。很清楚，这些问题中的任何一个都必须经过仔细构造的理论讨论来澄清。有些人说量子引力应该成为一个实验为主的科学而不是完全是理论的科学，这样想的人不是外行就是疯子。
我们所真正需要的是，不是一个不可实现的实验，而是一个更好的组织化的原理，这个原理可以告诉我们在尺度小于L（甚至是接近普朗克尺度）的时候确实发生了什么。
被回答的问题
Questions to be answered
在我告诉你我们应该找到什么样的原理，让我强调下这类问题是什么，这就是我想回答的。
在经典广义相对论中，随时间演化是由爱因斯坦方程决定的。通常我们可以通过求解爱因斯坦房产得到一些有意义的结果。但是有一些非平凡的计算将继续进行，虽然这些解是在接近平坦时空的条件下得到的。所有这些解应该用引力波的碰撞构造。
在量子理论中，所有在经典理论中发现的定量的现象仍然应该成立。然而，即使在近似平坦的时空区域所发现的现象，所有关于引力波碰撞的有意义的定量的物理问题应该可以用引力子的量子理论的散射幅计算重新解释。这是相当重要的。如果一个理论不能告诉我们这些幅度的话，那也就是说不是量子引力理论。
如果我们仅仅留下经典的费曼图，我们假设普朗克常数为零，那么结果就回到了经典理论。我们很想知道普朗克常数不为零的时候会发生什么：这时，我们需要圈图，所有各阶圈图。在一个“近似经典的”区域，更高阶的圈图的贡献是非常小的，剩下有限数目的项存在于有效作用量中（他们的系数仍然是未知的，除了牛顿常数和宇宙常数外）。但是在“纯量子的”理论中，我们需要所有的圈图。
量子矫正（正比于普朗克常数的幂次）对于经典（树形图）散射图是量子化广义相对论的第一个主要的量，这个可以得到，至少在原理上可以。一些人画出有趣的网络图（octopi）。但这些还不是物理学上的图。物理学史关于可观测的现象，而这些octopi或网络图明显是不可观测的。真正可观察的应该是像粒子物理学中的散射幅（我们可以做就是碰撞）。这些幅度的经典极限是已知的，我们还不知道的是量子矫正。
如果你的理论不能回答这些问题，也就意味着对量子引力没有用处。如果你宣称矫正幅度不该是问题，那么这个理论是错误的：从原理上，我们应该能够散射引力子。
完成一个可重整化的理论
在上面所给出的方法中，一个完备的量子理论应该由一个带宇宙常数项的拉氏量给出的，也就是爱因斯坦-希尔伯特项，以及无穷多的其他项（比如曲率的次幂），这些项包括确定的系数。我必须强调的是，这些系数的值没有一类是比其他的更好。事实上，通过重定义场或截止尺度L的改变或其它的重整化模式的微小的改变，都可以使得这些系数相互混合，
更具体的说，不可能指出“复杂”项的所有的系数为零。如果在某个截止L下，这些系数为零的话，对于其他的L，它们应该非零。在尺度L和精度惯例相关（你如何对圈图的积分截断，等等）的情形下这些系数是否为零也是不能确定的。
从这个层面上来看，量子化广义相对论是一个推理上等价的所有候选理论的无限维空间。任何一个正确且完备的理论，至少在长距离的情况下，它看起来应该是无限维连续体中的一个点。在微小的尺度下，可以包含一些新的内容，如弦，膜（也可能是龙，泡沫，章鱼即网络图等等）。但在大尺度下，你的理论必须回到经典广义相对论。
用不可重整化理论的语言，这个问题就是如何确定计数项的无穷多的未知的连续系数。从原理上，你可能会想自然界需要的是所有的正确的值罢了。但是，我们几乎不可能相信在自然界中有无限多的普遍的连续参数是不可计算的。
一些缺乏创见的人甚至对离散简并都有问题。但是标准模型的存在（仅仅用了30个基本参数就描述了数百万个实验），对于一个有无限多参数需要被测量的理论应该不是一个最终的答案。
因此，我们可能忽略了某些东西。更好的理论（或者是更仔细的一致性判据的分析）将会告诉你所有未知数应该是什么。至少，这个理论应该消去无限多的连续可调的参数。如果你的理论不满足这一点，不能给出和实验吻合的数据，那么这个理论肯定挂了。
新的变量：他们起作用吗？
很明显，我们的讨论将回到某些人所谓的“广义相对论的量子化方法”上来。着重要讨论的是Ashtekar变量，圈量子引力，以及类似的“招术”。首先，我们先回答下面的问题：一个新变量的选择能推动物理学吗？
恩，这是与上下文相关的。新变量肯定会有助于你描述一个物理体系，在一种物理情形下，该体系中变量是无助于我们我们看到该体系真正发生了什么。他们可能是太强的相互作用（强耦合），这样的计算可能是杂乱的。一个新变量的选择可以有助于你“看到”所发生的事情。但是从原理上看，我们可能用老的变量已经做了正确的计算。这些新的变量只不过是一些加速你的计算的工具罢了。类似于：氢原子的量子理论可以在球坐标系下求解，也可以在笛卡尔坐标系下求解。
但是，新的变量肯定不能告诉你关于理论的正确的方程。如果你不知道老变量所满足的方程，那么同样你也不可能知道新变量所满足的方程。这个声明是正确的。变量和坐标仅仅是描述空间的工具，这个空间也就是广义相对论的位形空间。任何坐标集应该和其它的坐标集等价（也许某些坐标集在具体的计算中更方便）。
如果新的变量导出老变量没有给出的新的物理结论，这就不仅仅是变量的改变了。你所改变的是游戏规则。你引入了新的物理（或减少了）。例如，Ashtekar的变量吧度规张量的时间微分写成规范场的双线性表达式，当然这样说比较粗糙。这样做对你有帮助吗？好，对于Ashtekar变量有两个问题：
·他们不是用一对一的方法描述GR的位形空间；
·就像其它的变量集，他们不能告诉你无限多的未知系数的值。
考虑第一点，这是看出圈量子引力（LQG）在物理上不正确的几百种方法中的一个。例如，LQG中的“面积量子化”通常是作为一个优点给出的。但你很容易看到这是一个错误。在真正的量子引力中，度规张量中的分量是可以去任意值的数。诱导体积的积分形成一个二维的表面，这可以是任意数。如果你的“新的变量”没有告诉你别的东西，你很清楚知道这不能用一对一的方法描述位形空间。
几乎很容易看到的搞LQG的错误来自哪里。他们写下“固有面积密度”作为磁场（两个表用数的随机等价-这两个表是度规张量和非引力规范场，但是并没有给出好的理由为什么用非引力规范场）这个场的积分是磁通量，本质上是量子化的。但在理论中的固有面积（proper area）显然是连续的。
同样的问题也可以用对偶变量描述（在坐标 vs 动量的意义下）：当磁通量被量子化时，正则对偶变量本质上是一条Wilson线，这条线张成一个紧致空间（一个圆圈或U(1)群流形，在实际的LQG中，这是SU(2)群流形，而且量子化规则更为复杂，但是讨论方法是等同的）。但是我们知道在整个引力理论中，空间不是紧致的。
事实上，我可以告诉你“面积密度”的对偶变量是什么：这是度规对时间的微商。如果你想探讨在紧致流形上的自由度，那么你的意思就是度规的时间微分不可能是任意大的。如果太大的话，在LQG图景中，度规的时间微分再次为零。这明显是错误的。这就像，你问某个人关于某个重要事件发生的年份Y，而这个人却告诉你sin（Y pi）的值。很明显，她告诉你的是零，有点夸张哈 J
因此Ashtekar变量不是引力位形空间忠实的参数化。
即使你把更好的变量挑选出来以正确的描述整个空间，这可能仍然不能帮助你确定作用量中的无限多的未知系数。不要犯错：在某些变量和记号下，某些参数的值可以“更容易写下”，你可能会发现这样就更容易定义一个理论（无限连续体中的一个点）。但是如果你用其他的变量，可能会得到完全不同的“简单的”点。这有点像可能的拉氏量的无限维空间存在一个变量和记法的可能选择的无限维空间。实施上变量选择的无限维空间可能是一个“更大的”无穷大。
Lorentz 不变性
Lorentz invariance
还有一些别的方法可以看到Ashtekar变量是错误的，他们可能把你得到一个正确的量子引力的理论的机会都打破。例如，在不可重整化的拉氏量的讨论中，我们有一个巨大的，候选拉氏量的无限维空间。
但是，在无限维空间中的每一个理论都是定域Lorentz对称的（Lorentz symmetry）。量子理论是通过经典理论构造出来的。因为根据微分同胚对称性（Lorentz对称性是其子群，例如平坦空间的超选段），理论没有反常，我们甚至在量子理论中也确保了对称性。这是非常重要的。例如，一个包括黑洞的理论不会破坏Lorentz不变性，这使得永动机制成为可能（perpetual motion machine possible.）
另外一方面，一个基于Ashtekar变量的理论不可能避免的破坏Lorentz对称性。这个问题是和位形空间的人工“紧致化”紧密相关的。我们看到固有面积密度的正则对偶变量（在Ashtekar术语中，这仅仅是度规的时间微分的简单函数），我们假设其张成一个紧致空间。
但是，如果度规张量的时间微分存在于紧致的位形空间，度规张量的空间导数应该也存在于一个紧致的位形空间。否则局域Lorentz对称性明显被破坏。在LQG中：Lorentz对称性明显被破坏。有一些其他的方法看到这个事实。自旋网络选出了一个特权坐标系：以太。
基于这些理由，对于量子化广义相对论的短距离的完备性，LQG不是候选者。对于LQG没有机会是正确的，因为这个理论粗暴的处理自由度和运动学。你不可能称为GR的量子化：这仅仅是一个随机离散模型，这也许是由GR激发的灵感，但是味道已经变了，这甚至发生在经典极限下。
想得到一个有前途的理论，为此你即使作出了巨大的牺牲，但这也不足以帮助你解决GR的不可重整化问题，也就是说你无法确定无限数目的未知参数。Ashtekar引入了一些含糊不清的参数。在LQG中，这仍然是无限多的位置参数：他们出现在哈密顿量约束中的无限多的未知参数，这让LQG变得杂乱且神秘。这是一个坏消息，因为哈密顿量知道所有的动力学相关的性质，而且本质上物理学是动力学的。因此，这样的理论不能知道动力学的任何信息，从而无法了解物理学，而且这个理论的运动学也不对。
完全的新物理学
Completely new physics
我们明显需要的是，理论有新的自由度，新的相互作用使得引力相互作用嵌入到爱因斯坦方程中，当然这是在长距近似下的情况。即使在弦理论被发现之前，我们就已经知道短距问题如何求解，发散如何处理。
在beta衰变的费米（费曼-盖尔曼）理论中，在拉氏量中有一个显含的项，在费米子场中，这是一个四次方项：这就是为什么种子可以直接衰变成一个质子，一个电子，一个反中微子。但是这个四次方相互作用项也导致了一个问题，即不可重整化性（多圈图发散），会出现无穷多的新的未知参数，就像在广义相对论中一样。
在beta衰变的情形，正确的理论是规范理论。费米子间不能直接相互作用。他们和场发生相互作用，这是一个有质量的矢量场（例如psi.A.psi项），通过交换场，他们模仿在低能极限下的四次耦合。这个新的矢量场必须是规范不变的，但是由于必须要有质量，因此规范不变性必须破缺（通过引入希格斯机制，用一个简单基本的变量场实现）。
引力的情形有类似的概念，这出现在更高的能标下：对应的新的粒子应该是的理论有限-弦的激发态或者别的弦论的对象-在实验上不可能被探测到。一个简单的量纲估计告诉我们，这是不可能被探测的。在任何意义下，这不是弦理论的缺陷：这是一个关于自然界的事实。
任意一个有前途的理论必须“隐藏”新的一般的物理对象和现象以及实验还无法证明的情形（能标）。否则本身就已经失败了。我意识到量纲分析的重要性-很可能直接探测量子引力是不可能实现的-那时候我15岁左右，因此我从来不相信那些在物理协会中可能出现的争议。人类的愚蠢度可能超过我以前的预期。
在量子引力中，比克避免出现新的物理学。本文中，通过处理发散和未知系数我们验证了这个断言。即使你回答了这些问题，在量子引力的水平纯引力不可能起作用（pure gravity cannot work）：额外的物质是必须的（至少在三维的情况下是），如果理论是自洽的，那么可能会有其它的力比引力强。
目前，弦论已经预测了无穷多的新粒子-弦的激发态-并且他们的质量和相互作用完全有理论确定的。这个假设是不是太大胆了？恩，我们需要这么大胆。这即大胆也很保守。对于这个理论基于实验的要求，从这点来看，这是很保守的。弦论走在绳子上（或这是弦上），这根绳子有很多最小值（你可以很舒服的坐在你的宇宙中～）J
事实上，激发态的弦是故事的一部分。有一些其它的对象在弦论中-膜和黑洞微观态-这些都是由理论本身决定的。在AdS/CFT中，引力子可以被看作是空间边界上的规范场构成的。在Matrix理论中，他们是很多D0膜的束缚态，这似乎是非对易几何的规则的要求，无论什么时候，都会出现膜。
再次强调，这并不意味着引力子是复合态。在微扰闭弦场论中，度规仍然在，并且和经典的GR有相同的性质：但是，从有质量的弦振动模式中补充了无限多的“物质”场。
所有这些对象在所有的主流的物理学中的描述，都是我们知道的，并且，引力子的散射以及其他的重要的现象都是可以完全被计算的。今天，我们讨论弦论的时候，这可能是用词不当。我们讨论的是广义相对论和量子力学如何融合成一个统一的理论的所有的可能性-有效场论必须是正确的。在微扰弦论中，这些可能性不但包括弦行为的宇宙，也包括一些其它的体制。他们似乎是通过理论的方程相互联系的，因此我们继续称为弦论。
重要的是，不是真正要看到弦作为中间态：仅仅在弱耦合的情况下，他们才是好的自由度。重要的是，人们对于物理学的方法是具体的，并且避免了LQG中出现的错误。我们确实不知道，根据弱耦合弦，我们的宇宙有一个好的描述，弱耦合弦正是微扰弦论。但是，我们知道一些别的东西。部分已经在本文中描述了。
在量子引力中，已经发现一些新的有趣的物理现象，部分已经被证明对于维象学是相关的。但是，如果在理论上首先发现的话，很清楚这个理论必须是有活力的，相容的。换句话说，计算方法，觉得假设的命运必须科学的方法，正如弦论所使用的，而不是由搞LQG的人和其它的subpar科学家给出的很随便的游戏。
完
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