微分几何笔记讨论班的粗略总结Chp7-6

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2008.10.08
7.8 Non-coordinate bases
7.8.1 difinitions
The coordinate basis {e_{mu}}, the non-coordinate basis is the linear combination of coordinate basis.
So the metric can be written in both coordinate basis and non-coordinate basis.
The bases{e_{alpha}} and {theta^{alpha}} called non-coordinate bases.
The non-coordinate basis has a non-vanishing Lie bracket.
In term of non-coordinate base, we can get the commutive relationship of dirac matrics in the curved spacetime.
Cartan's structure equations is important for the late context.
7.8.2 Cartan's structure equations
这里主要用到了一些第5章的公式，总结如下：
P285页定理7.3中证明所用到的公式
7.8.3 The local frame
The set of transformation of non-coordinate basis, form a group SO(m), where m=dim M.
Introducing the transformation rule of every type of tensor. For example, one index, two indeces.
7.8.4 The levi-Civita connection in a non-coordinate basis
The metric condition(7.155) is very important. And we can make use of Cartan's structure equations, the curvature can be replace in a simpler form. If \Delta is a Levi Civita connection, so we have a torsion-free condition in the non-coordinate basis.
Summarization
第七章公式的总结
Highlights
关于公示（7.135）的讨论，Zk同学（注：由于组内有两位同学Z姓开头，一位在k大，一位在c大，故用Z和c区分～）指出，坐标基是和坐标有关的，比如，manifold上某点p(x)是和和坐标有关的，而流行上同一点p可以用不同的坐标卡，比如p(y)。
那么在点p(x)的切空间，我们有一组坐标基e_{x}，如果manifold是平坦的，那么该点的切空间和manifold等价，如果manifold是curved， 那么切空间的基矢可以看成是内部空间（内部自由度），那么从坐标基到非坐标基的变换只是内部空间的一个转动，对应QFT中，那么就会有个Gauge，比如在本次讨论中就涉及到的应该是SO(m)规范。因此我们就可以认为，manifold的坐标x是外部空间坐标，而{e_{mu}}或{e^{alpha}}是内部空间“坐标”，这个“坐标”就是内部空间的基。那么弯曲时空中是否必然会出现规范固定问题呢？这个问题有待进一步学习了解～
后来和Zc同学继续讨论这个问题，现在看法有不大一样，不过Zk同学发表了总结，我们先引用之～虽然我还是有点疑惑...
搞明白了：在切空间中诱导出的自然基的矩阵变换是GL（m,R）的元素，而GL只有张量表示没有旋量表示，引入viierbein（标架场），则在黎曼流形上选取正交标架场，在局域转动下仍然是正交标架场，构成O(m)群（转动群）O(m)具有旋量表示，一种特殊情况是：S^n球面上，的正交标架场具有SO(m)转到对称性。
补充说明
对于Lorentz monifold，引入 connection one-form（在侯-侯的书中称为自旋联络）omega（7.145）相当于O(n)规范场势，而相应的曲率（7.159）相当于O(n)规范场强。
因此，完全可以把流形的切空间看作是“内部空间”，而正交标架场的变换（比如转动），可以看作是规范变换。

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