zz: 非交换几何学：世界是一堆错综复杂的矩阵？

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作者：叶眺新    发表日期：2009-8-20 8:12:21   来源：中思网

关键字：非交换几何学 错综复杂 矩阵
五、非交换几何学：世界是一堆错综复杂的矩阵？
阿兰•孔内屡获殊奖：1981年获得菲尔兹奖，2000年获得柯莱研究奖，2001年获得克劳福德奖，2004年获得法国国家科研中心金奖…… 这些奖项，都是为了表彰其所建立的一个数学分支：非交换几何学。这种全新的几何学，虽然难以想象，却带来了丰富的成果。它是如此有效，于是这位法国数学家试图用它来实现爱因斯坦的目标：统一自然界中的各种力，而他也确实大踏步地接近这个目标！这一起初数学的理论，现在渐渐成为弦论和圈轮的有力竞争者。和弦论一样，孔内的理论也试图从量子力学出发导出相对论的公式；不同的是，弦论者的时空是传统的，而孔内的时空则完全是异乎寻常的……
毫无疑问，孔内是当之无愧的非交换几何学之父。但这一理论的源起可以追溯到1925年的哥本哈根，那里是量子物理学的摇篮之一。在那里，年轻的沃纳•海森堡正在努力研究热气体发出的光。这些光谱的特殊之处在于，它们只表现出来某些特定的波长。在为这一离奇现象构造模型时，海森堡发现粒子的不同参数（如速度或位置）是如此密切联系着，以至于必须启用一个全新的数学概念“算子”才能对它们进行描述。比如粒子的位置就不再是由一种随着时间变化的函数决定的，而是由一种“位置算子”（即对该粒子进行的某种数学运算）决定的，这一理论尽管抽象，但总算可以与观察结果“吻合”了：原子频谱就完全符合通过相应算子得到的值集。
这种解释现象的新方式很快就产生了意外的影响。原因很简单，两次运算的结果会因运算步骤顺序的改变而不同。比如，先打开瓶盖再喝啤酒的结果和在打瓶盖之前就试图喝酒的结果是不一样的……换言之，“ab”和“ba”常常是不一样的（数学家们会说a和b的运算是不可“交换”的）。海森堡发现大部分的物理量都是这样的，位置和速度的算子尤其如此。具体地说，这意味着先测量一个粒子的速度再测量其位置与先测量其位置再测量其速度，这两者之间是不对等的（对于传统物理学来说，这一点显得十分荒谬）……
在海森堡发现这一现象几周后，德国物理学家玻恩就发现算子增加与矩阵（数列）的增加其实是一回事。于是他把海森堡的结论统统搬到这种代数语境中来，拉开了最初的量子力学的序幕，当时称作“矩阵力学”。不过这种数学公式化表达因为太抽象，且没有任何直观帮助而不太受物理学家们的欢迎；他们更喜欢不到一年后由埃尔温•薛定谔提出的那个相应的版本。后者的优势在于它是建立在概率波概念基础之上的。当然这个概念也十分抽象，但对于物理学家来说，它已经十分直观了。
在这种情况下，人们发现无法得到非交换性的所有结果。要做到这一点，还是要等到上世纪80年代初阿兰•孔内的登场。当时，这位数学家对算子代数（也就是对这些数学对象的属性）感兴趣已经有10年了。他因为解决了该领域的先锋约翰•冯•诺伊曼（john von neumann）所提出的几乎全部问题而获得了菲尔兹奖。而诺伊曼对这一领域的研究则是受到了海森堡的启发。孔内的最初的想法还是相当简单的，并坚持从中探寻最终的结果。既然我们只能通过对频谱的测量去了解自然，而这些频谱的模型又只能通过非交换性的算子结构，那么在某种唯一适于表现自然现象的几何学中，位置或速度等传统概念就应被相应的算子取代。因此必须发明一种与此前人们的设想完全不同的几何学，一种非交换的几何学……。
而阿兰•孔内恰好掌握了一条能够帮助他实现目标的定理：乌克兰数学家伊瑟利•盖尔范德（israelgelfand）在1940证实交换代数和几何形状其实是一个硬币的两面。阿兰•孔内的目标则是将这一定理扩展到量子物理的非交换代数。或者说，建立一个能够成为算子代数的几何对应的空间。这是一个完全抽象的空间，但在其中我们应该能够清楚地感觉到海森堡提出的概念的存在。身为这样一位探路者，阿兰•孔内从那时开始就努力地把传统几何学所有的工具都转换到这一新的语言中来，并发现了应该如何定义新的距离、差异计算等概念。不过，这位法国数学家将他的几何学的目的规定为解释我们的世界。从1985年开始，他就在寻求将粒子世界中的三种力（电磁力、强力及弱力）协调起来。他们中的每一种都对应着物理公式中一些新项目，也对应着一个需要被整合到非交换时空的新成分。在恰当的定义了这一空间后，阿兰•孔内就投入到一些及其复杂的“频谱计算”中去了，为的是从中挖掘出该空间的属性。
这时他有了一个惊喜的发现：他看到标准模型中所涵盖的所有公式都一一再现了！这一标准模型是在上世纪70年代初建立的，它把在粒子加速器中观察到的粒子加入到了几个不同的家族，并预言了一些新的粒子，比如希格斯玻色子。人们认为这种粒子会把自己的质量赋予其他所有的粒子。这些粒子都是为了实验而被以多少有些任意的方式引入的，在阿兰•孔内的空间里，它们都成了时空的某种几何属性！连希格斯玻色子也自发的出现了……
这样一些离散的，瞬间的粒子怎么会出现在一个连续的时空（不管这个时空是不是非交换的）中呢？答案应该不会简单吧。“最关键的一点就是，在非交换几何学中，连续和离散是被同步处理的。这就可以简单地解释像希格斯玻色子这样的粒子出现的原因，因为它反映了时空的部分离散性的结构”，这位科学家试着解释说。为了形象地理解这一现象，他建议我们去看一张纸：在纸张的任何一面，我们的目光都可以进行连续的运动，而当我们要把目光从一面过渡到另一面时，就必须要做一种断续的运动。希格斯玻色子也许就代表了这种跳跃，这种由两面之间关系决定的离散元素。但是如果要进一步理解这种解释的话，那就需要您具备相当深厚的数学修养了……
这种非交换几何学尽管十分复杂，但它的初步成功还是相当令人信服的：非交换几何学已经证明它能够将几种基本力集合到他的怀抱中。这样一来，问题就变成了：这种新的几何学是否也能将我们宇宙中的著名的四种力，即此前一直与其他力无法相容的万有引力，也囊括进来呢？答案是肯定的！阿兰•孔内根据他的理论发现，爱因斯坦在描述引力的影响时使用的令时空弯曲的度量就是狄拉克算子，也就是量子物理那个主宰着物理系统时间演化的最关键的算子。这真是一个天大的惊喜：量子物理的支柱和广义相对论的支柱完全是以相互独立的方式建立的，而这个发现说明量子物理的这一支柱只不过是广义相对论的一个支柱的变体而已！阿兰•孔内以频谱计算为依据，在1996年证明了可以把所有的自然力都纳入到同一个非交换的空间中来！
曾令爱因斯坦朝思暮想的那种统一的理论终于要到来了吗？不，还没有。因为，我们还需要战胜妨碍一切粒子物理学计算的拦路虎：发散性。标准模型的计算中充满了无限值。这从表面上看来没什么，其实却是现代物理学最棘手的问题之一。为了消除这些发散性，物理学家们所找到的办法就是一种“重正化”的数学技巧。物理学家们普遍对这种做法感到不满，而能否成功结局发散性的问题也将是所有统一理论的试金石。
正当大部分道路，比如弦论，千方百计想要消除这些发散性的时候，孔内的理论却认为应该保留这些发散性。他先后和物理学家德克•克雷默（dirk kreimer）及玛蒂尔德•马尔柯利（matilde marcolli）一起发现了一群隐藏的算子——被称为“宇宙伽罗华群”——是它们在暗中支配着重正化的计算。2004年，他们还证明，如果以恰当的方式将这些新算子纳入到一个非交换的时空之中，那就不会有任何发散性来妨碍计算了。总之，重正化隐含了一种几何意义。
今天的情况是这样的：阿兰•孔内左手攥着能够同时描述标准模型和引力的非交换几何学，右手握着无需任何花招就能进行重正化的方法。他接下来的计划是将两者融合起来以便将源自重正化的修正融入到他的时空几何学中去。这也许将使他最终实现对量子引力学这一物理学圣杯的纯几何学描述。尽管已经获得了多方面的成功，阿兰•孔内还是拒绝预测自己的计划的前景。
目前，一般人面对这一复杂艰深而难以普及的理论及这种无法通过形象感知的世界观，可能都会感到困惑。不过，即使仅仅存在理论上成功的可能性，也应该全力以赴。请接受这样一个观点：就像海森堡的原子只能发出光谱的某些成分一样，自然是以频谱形式存在的，而这些频谱只能通过一种极度深奥的几何学来描述。这让我们不由得问：用频谱和算子这些概念来向人们解释自然，会不会显得太抽象了？ 不会，我们以长度单位为例来说明这一点。直到18世纪末，“米”这个概念，是通过对可直接测量的最大长度（地球圆周）进行分割而建立的，“米”还被形象化地做成一根白金标尺，被收藏在巴黎附近的布勒特伊别墅。但是在1960年，“米”被重新定义为氪同位素氪86的橙色谱线波长的叠加。这种长度单位就变成了一种“频谱”单位。这就是非交换几何学所倡导的那种变化的完美体现。这又如何找到一种能够验证这一理论的实验呢？这还有许多工作要做，但目前面临的挑战首先还是理论上的。关键的一点，就是要把对重正化的新理解（特别是重正化与加洛瓦理论的联系）和对囊括了引力概念的标准模型的频谱分析结合起来。
六、标度相对论：世界是一片分形的汪洋？
标度相对论认为，要想统一量子力学和广义相对论，就需要像牛顿的万有引力理论被能够作出更准确语言的爱因斯坦理论所取代一样，标度相对论的设想是发明一种更为宏大的理论，而目前的量子论和相对论都只是在各自有效的量级标度上对该理论的近似反映罢了。与其他试图不改变20世纪那些关键公式而通过建立某种对世界的解释来统一物理学的道路相比，这种设想至少称的上是激进的，当然标度相对论远未得到物理学界的一致承认。只有很少几个人在从事这方面研究，而大多数人都对它持批评意见。
不过，大家都对该理论的倡导者敬重有加，他发表在著名学术刊物上的论文是他高深学术修养的明证。这样说来，其他理论家们是不是太不公道了？要不然就是被如此大胆的设想吓坏了？这些设想简单说来可以归纳为5个字：分形的时空。爱因斯坦教导我们说时空是弯曲的，而标度相对论的发现者洛朗•诺塔尔则指出，时空是分形的。这是在在上世纪70年代，量子理论所缺少的就是对微观时空的几何学描述，洛朗•诺塔尔想到了海森伯关系理论（它宣称测量的结果取决于时空的精度），觉得该理论的普遍性也许是打开这种几何学理论大门的钥匙。
因为时空如果是分形的，就像法国布列塔尼的濒海地区一样：越是靠近其蜿蜒曲折的海岸，越是细化测量的标度，它的周长就越大！在上世纪70年代伯努瓦•芒德布罗（benoit mandelbrot）就发现分形的物体具有这样一种特性：它们的大小会随着标度而变化。这个特征，在芒德布罗看来特属于分形物体，而在洛朗•诺塔尔看来也是时空所固有的特征。时空的结构取决于我们观测它的标度。
要理解巴黎默东天文台的这位研究员何以预言时空具有分形的特征，就需要回顾一下量子力学的发端。1927年，沃特•海森堡在一块黑板上写下其著名的“不确定性原理”，认为同步测量到某一粒子准确的速度和位置是不可能的。这一原理敲响了传统物理学中那个弥足珍贵的轨迹概念的丧钟：如果我们根本不知道粒子的准确位置，怎么可能描绘出它运动的轨迹呢？然而到了40年代，美国科学家理查德•费曼（richard feynman）却向人们心中注入了疑问。他指出，如果从数学的角度来看物理学上的运动定律，就会发现两点间粒子运动的线路绝不仅有一条，而是有着无限条。有人问他这些线路是否真的存在，费曼明确地答道，它们是虚拟的，它们的存在只是为了让我们更好地理解量子物理之迷。后来虚拟轨迹的说法在诠释自然现象上如此有效，以致于某些人倾向于认为它不只是一个比喻……
洛朗•诺塔尔就是这些人中的一个。上世纪70年代末，他在阅读芒德布罗的一本书时，突发奇想：这么多的线路会不会就是由时空的分形属性造成的呢？要理解这一点，请设想一片像布列塔尼海岸一般崎岖多山的风景。要穿越这样一片分形的区域，就意味着要进入一个充满了峡谷的曲折而错综的网络。这时，从a点到b点之间最短的线路就会有无限种可能性。在分形的时空中也是如此：两点间最短的轨迹并不是唯一的。而是像费曼所设想那样，存在着无限的可能。
洛朗•诺塔尔于是决定认真对待时空会随着焦距变化而变化的假设。伽利略和爱因斯坦都认为时空的结构不管从什么标度下看都是光滑的，而诺塔尔则认为每当分辨率发生变化，时空就会表现出新的粗糙不平。这样一种假设造成的后果是很严重的。因为这样一来，我们就要与那些对于物理学家们来说极为宝贵的几何分析的传统工具（比如导数的概念就是建立在长度无限小的光滑曲面之上的）作别了。同时，我们也将迎来一种新的代表长度的参数。和布列塔尼的海岸一样，这种物理量现在取决于我们对其进行测量的标度，变成了一个会随着精度变化的函数。
这样一来，计算的工作就变成了一场恶梦，但却更贴切于我们的测量方式。事实上，严格说来，1.54米并不是一张餐桌的确切长度。要测量它，我们就需要拿上一把有刻度的尺子，而尺子有的是厘米刻度的，有的是毫米刻度的，这也会导致不尽相同的结果。因此，所有的长度都要将测量的精确度考虑进去（比如1.54±0.01米）。而标度相对论建议我们考虑的就这种新的公式。
不过，洛朗•诺塔尔走得更远。他把这种精度看作一种系统状态。就像速度决定了运动状态一样，精度决定了该系统的“标度状态”。同样，就像速度总是相对的（相对于参照系的速度）一样，某一系统的标度也取决于参照系的标度。这种速度和标度之间的比喻的确对我们的想象力提出了很高的要求，但这却是这一新理论的关键所在。它使洛朗•诺塔尔得以从前人的研究工作中汲取灵感。实际上，伽利略和爱因斯坦在提出自己的理论时，都思考过这样一个问题：自然法则是如何根据受到这些法则支配的对象的运动而发生变化的。他们将自己的理论建立在相对性原理之上。该原理提出了这样一个公设：无论参照系如何运动，物理学法则都不会改变。1632年，伽利略发现，如果在船上闭上眼睛，就无法判断船是静止的还是在巡航。在这之后，伽利略将该原理应用于匀速直线运动，建立了传统物理学的时空。1905年，爱因斯坦通过其狭义相对论将一种极限速度引入到这一时空之中，这一时空就变成了相对论的时空。1915年，他进一步将其扩展到加速运动，并将万有引力现象涵纳进来。如今，诺塔尔则提出把这一原理不仅应用于运动，同样也要应用于标度。
换句话说，在分形的时空之中，自然法则既不取决于运动，也不取决于焦距。以此作为出发点，并参考爱因斯坦的公式，这位科学家规定物理学法则必须遵守一条在数学上被称为标度相对论的新原则。“这就像是把物理学转译成一种新的语言。”他解释道。这是一项困难的翻译，但已激发了一些惊人的预言。
特别值得一提的是，洛朗•诺塔尔发现时空分形的效应只有在小于某一临界大小的情况下才能得已显现，而在较大的标度上是无法感知的。比如，如果从天空俯瞰，即便是布列塔尼海岸也显得那么平滑！这就可以解释为什么量子现象在低于某个被称为“德布罗意(de bro-glie)标度(这个标度根据观察的对象不同而有所不同)”的情况下就会表现出传统的行为属性。对于泾渭分明的量子世界和传统世界的这种共存，标度相对论能够很自然地加以解释：我们的确是生活在同一世界之中，但这个世界的面貌会随着我们观察它的标度不同而变化。
而就像狭义相对论肯定了极限速度(真空的光速)的存在一样，诺塔尔创立的”狭义标度相对论”也提出了一种最小标度的存在。这是一条无法逾越的界限，代表了长度测量精确度的极限。任何长度，无论其小到何种程度，最终都将指向这个时空的”点”。量子力学也设想了这样一条界限，称为”普朗克标度”，并认为在这个标度下任何物理法则均会失效。
这些还不是全部，因为标度相对论还轻松地证明了量子力学的或然性：既然自由游荡于时空之中的粒子有着无限多的运行线路，那么小标度中的自然就不可能是决定性的……最后，标度相对论还有一项美妙的成果，与量子力学中最重要公式有关，那就是描述量子世界中物体行为方式的薛定谔公式。洛朗•诺塔尔在把牛顿的基本运动公式(该公式规定了物体的加速度等于其所受外力的总和除以其质量)转译成标度相对论的语言过程中，就推导出了薛定谔的公式！多亏了分形时空的概念，现在这个公式变成了一项具有更广泛的意义的原则。
总之，通过加入一项简单的公设，洛朗•诺塔尔重新诠释了量子力学这样一门强大而又造作的理论中的一些关键设想。而且，这一切与广义相对论是完全兼容的，因为标度相对论本身就是以爱因斯坦的一些原则为出发点的！在发展了20年之后，标度相对论终于可以为自己取得的一些成功感到骄傲。可为什么有些理论家们还如此保守？坚持他们或者认为在协调广义相对论中的量子力学的过程中不应该加入的东西，或者认为诺塔尔的计算不够精确……特别是验证这一微观物理理论的关键是什么呢？
自波普尔以来，实验室试验这一点就很清楚。这理论本身正如所有其他的物理理论能被验证的，是理论所做的预言，建立这项理论的目的，就是想创立一门合乎相对论原则的量子理论，所以它的预言绝大部分和量子力学在原子层面上的预言是重合的。新的可测属性，可能出现在极高能量以及传统理论向量子理论过渡的领域。相反，没有一个人对洛朗•诺塔尔所遭受的这种不宽容感到惊奇。就像法国核物理研究所理论家艾蒂安•帕里佐（etienne parizot）所说的那种：“物理界不愿意接受这一理论，是因为它的数学基础并不可靠。而要对分形的时空作出定义，并不是一件简单的事情。诺塔尔所做的和物理学家在开辟新领域时所作的是一样的，只能靠自己的力量小打小闹。”
这一理论要想一统理论物理学还有很多工作要做。特别是，它需要像狭义相对论历时10年变成广义相对论那样实现质的飞跃：即在已经确立了这样一个“狭义标度相对论”的基础上，还应该建构一个“广义标度相对论”，但我们现在对后者的认识还十分模糊……权且认为这个视角会被最终证明是正确的。如果那样，人对自然的看法会不会被颠覆？不一定。在巴黎高等综合技术学院的认识论学者米歇尔•比博尔（michel bitbol）看来，这个问题的答案正属于现实主义与理想主义永恒的争论范畴：“如果把空间看作一种自然实体，那么确实，对其分形属性的认识就可能会导致我们整个宇宙观的改变。但如果仅仅把空间看作由我们测量方式出发得到的一种构造的话，那么就不要期待标度相对论会给我们带来任何有关自然本身的新消息……”在分形到底是时空的固有属性还是我们测量的结果的这场争论中，我们也许不可能做出任何断言。
决定我们最终判断的，也许弦论、圈量子引力论、非交换几何学和标度相对论等四种理论能够被统一起来，就类似彭罗斯的扭量理论中由克利福德平行线，构形鲁滨逊线汇空间图像的三种对称自旋的旋束态一样。
参考文献（略）