《命运骰子——量子力学简史》（第十二章）

发信人: yauzhang (penrsoe), 信区: Physics
标 题: 《命运骰子——量子力学简史》（第十二章）
发信站: 两全其美网 (Fri Jul 4 15:24:00 2008), 本站(lqqm.net)


第十二章 出轨，玻恩：平方律
（1）

“S=-ih ln ψ”
这个东西实在是很奇怪的,每一个轨道作用量对应一个 ψ。
薛定谔笔落惊风雨，写出ψ满足的波动方程：

ih d ψ/dt= H ψ

写完天才如精液一样射尽，事情却象情人的肚子一样被搞大了，因为在波动方程里ψ是一个复数。懂复变函数的人都知道，一个复数的对数函数是多值函数——一个ψ将对应很多个S,也就是说对应很多个轨道。

“我 靠，我要晕掉了，那就写成指数形式吧。”薛定谔骂了一句，看来那个最初的这个关系式S=-ih ln ψ最好是倒过来写好看一些。在纸上写下如下公式（现在的读者如果是一个数学家，会发现下式中ψ可以被看做定义在所有可能轨道S组成的那个集合上，ψ其实就 是路径积分里对应每一条路径的概率幅，对所有轨道求和就是求和跑遍整个集合，但当时的人没有这么的眼光的）：

ψ=exp（i S/h）


他心想，对应每一个作用量（轨道），有一个复数ψ与之相对应。可是，波动方程里已经没有什么轨道的影子了。

“看来，我的身体和灵魂都已经出“轨”了。”薛老师长叹一声，在他的方程里，已经没有轨道的痕迹，一如他的婚姻，已经如列车脱轨。



（2）

但问题还是没有彻底解决的，复数ψ是什么意思呢？表示什么物理含义？这个时候丹麦的哥本哈根学派已经崛起，那里的人最喜欢谈“可观测的物理量”，因此他们对薛老师的这个ψ嗤之以鼻。

ψ 是一个复函数，是测量不到的，任何物理实验只能测量到以实数表示的数据。在之前的物理学里，原则上根本不需要引进复数，比如经典光学里，用光振动也是用复 数来表示的，可大家都知道，真正有物理的东西就是光的复振动的实部。光强就是振幅的平方，或者说是复振动的模平方。可是,对薛定谔方程来说,如果只取ψ的 实部，那么整个波动方程就毫无意义了。

薛定谔也很是迷惘，哥本哈根的人看他不爽他是很清楚的，但在苏黎士也没有人比他更懂这些东西 了，他感到孤立无援。他一个人发明的这套学问有点象一套连篇“鬼话”——简直有点“可怜夜半虚前席，不问苍生问鬼神”的味道。他老婆安妮似乎在看到薛定谔 写的这些东西以后，确信薛定谔已经出“轨”了，也起了出轨的念头，这时候，正好有一个叫外尔的数学家，也在苏黎士……安妮想到这里，不由得有点心旌荡漾起 来。

薛定谔真的很烦恼，他心想：“我要晕掉了，自从我搞出这个没有轨道的波动模型，我老婆也想出轨了。”

（3）
浪漫诗人的复数ψ究竟是什么意思呢？


苏黎士在沉思，哥本哈根在冷笑，哥廷根在暗中摸索。


哥 廷根大学的物理系主任玻恩（思想体系也属于哥本哈根学派）早年求学于希尔伯特等数学家，他对数学是很敏感。他看到薛定谔的波动方程，非常喜欢——他相信这 里面肯定有一些好东西还没有被挖掘出来。薛定谔已经拿波动方程计算了氢原子的能级，照着葫芦画瓢，玻恩也开始在草稿纸上比画着计算多原子的分子的能级。

玻恩心想，复数ψ如何才能变成一个实数呢？取模平方吧。可是直接取模平方虽然可以得到一个实数，但这个实数是什么意思呀？对了，看看电 子被核电场散射的过程。电子是一个波，很好，那么只要把电子当作是一个波，跟卢塞福当年做过的散射计算马上可以做下去的——只不过卢塞福当年把电子当作是 一个粒子，现在的计算里把电子当作是波，用ψ来描述，满足薛定谔方程。


于是，玻恩花了好几天时间，终于完成了“薛定谔版本的卢塞福散射”，计算结果表明，只要把ψ的模平方解释为出现在不同地方的概率，那么整个计算也可以有很好的物理图象。


天啊，ψ的模平方居然是概率！！！

玻恩楞住了，“薛老师得请我吃饭，我帮他解决了燃眉之急。”玻恩放下笔，自言自语的说——仿佛薛定谔正站在他面前，玻恩很想上去把这个喜讯告诉他。他站起来，走到窗台边，遥望着苏黎世的方向，外面烟雨蒙蒙，哥廷根的小镇依然宁静，但故事已经朝纵深发展了。



（4）

薛定谔波函数是一种概率振幅，它的绝对值的平方就是概率分布函数。

什么？概率？啊？ 中心极限定律？大数定律？哦，数学界的朋友们都树起了尖耳朵，他们听到了来自隔壁的呻吟——隔壁已经高潮了？
这个声音太动听了，简直动人心魄的。物理学界居然有人神乎其神地在拿概率分布函数开根号，得到一个叫波函数的东西。

数学家外尔正想写一本关于李群和量子力学的书，这边又有人把量子力学和概率论搞起来了，这太疯狂了。
物理学大时代已经来临，风雨雷电交加，空山新雨后，天气晚来秋的宁静时代已经一去不回。

“物理学终于也要起大变化了，复数就是很本质的，高斯分布就是很重要的”高斯从坟墓里爬起来，如是说。

当 然，这是一句玩笑话，高斯不会复活，但杰出人物的思想和灵魂可以重生。现在复数和概率论为物理学这个大树的根部提供了养料，老树要发新枝了。高斯当年写出 二次互反律的时候，心情非常激动——他老人家很少特别激动。但如果他能看到薛定谔波函数是一个天然的复数，再看到玻恩的平方律把波函数变成概率，可以相 信，高斯依然会激动得老泪纵横。