《命运骰子——量子力学简史》（第十三章）

发信人: yauzhang (penrsoe), 信区: Physics
标 题: 《命运骰子——量子力学简史》（第十三章）
发信站: 两全其美网 (Mon Jul 7 16:38:40 2008), 本站(lqqm.net)


《命运骰子——量子力学简史》（第十三章）

第十三章 函数方程：对应原理

（1）
“只有可以观测的美女，才是真正的美女。”
前面已经讲到，1926年薛定谔关于波函数的文章充满了鬼打架的风格，哥本哈根学派的很多人包括玻尔在内，对这种风格莫衷一是。薛定谔的方程里，没 有物理上可观测的量，玻尔则处处强调物理上可观测的内容，比如光的频率，光的强度，在薛定谔的方程里，却没有这些。但薛定谔的方程可以解出氢原子的能级， 这已经足够了——薛定谔的计算结果，是和玻尔八年前的结果殊途同归。

八年前的结果可以被重现，自然说明薛定谔已经走到了一个绝妙的境地。
画鬼容易画人难，做学问永远是这样的。 量子力学在发展之初，也有这种画鬼思潮的痕迹。这种画鬼的思考方式起源于德布罗意，在薛定谔成为绝响。这种研究风格其实具有晚唐诗歌李贺的那种诡异风格， 读他的诗，会发现全篇没有一句是写实的，但整个诗总说是凤凰在唱歌，听起来却又有夜莺的味道。
我们暂时告别薛老师，不再探讨他的武工的路数，而转而去看看，一个真正的物理学家，是如何做物理的。
（2）

玻尔年轻的时候，解决了氢原子的能级问题。他的思路是非常自然的，不会让任何人觉得吃惊。这个思路的核心就是所谓“对应原理”，这个原理成为海森堡 后来最厉害的思想武器。实际上，对后来者来说，对应原理是一个真正的物理方法，换句话说——这是物理学家做事情的一般方法，浑然天成，不施粉黛。

在玻尔的原子模型里，电子在不同的轨道上运动，这些轨道可以用自然数n来标记。读者们一定要注意了，其实轨道是不存在的，但物理学家不可能先验地知 道轨道不存在，所以，玻尔的思路是非常完整的。在经典力学里就可以知道，不同轨道的能量不一样，可以把第n个轨道的能量记为E（n）。
因为n是一个整数，所以E（n）是一个未知的数论函数。


（3）
玻尔认为，电子可以在不同的轨道之间相互跳跃。这被称为跃迁——类似于股票市场中的那种跳跃，比如，今天的上证指数到了收盘的时候已经有了一条轨道，收盘在2890点，那么，明天早上开盘不一定是在2890点，有可能跳空高开，比如在2920点开盘。
从能量高的轨道跳到能量低的轨道，电子的能量肯定要释放出来，这就满足如下的能量守恒方程。

E（n+m）-E（n）=hν(m,n)

这是一个函数方程，类似与F（n）+F（n+1）=F（n+2）这样的被称为菲波那切数列的函数方程。菲波那切数列的函数方程的目标是求出F（n）的表达式。同样道理，玻尔要求出E（n）的表达式——这个表达式整数n有关系，具有能量量纲。



（4）
E（n+m）-E（n）=hν(m,n)
这个方程的左边是2个能级之间的能量差，而右边是放出光子的能量。这个方程可以解释世界上所有的线光谱，所以，求解它显得尤为重要。
这个方程的右边是可以观测的，就是光的频率（波长可以通过单色器测定，频率是波长的倒数）。但左边是不能观测的原子的能级。求解的关键自然在于确定右边的函数形式。

这个时候，ν(m,n)的表达式是不能通过眼睛看出来的，必须要有一个假设来支撑它。玻尔他使用了如下的假设，被称为对应原理：当n很大同时m很小的时候，ν(m,n)作为放出光子的频率等于电子在圆周轨道上运动的圆周运动频率的m倍。

高中学生都知道，一个电子做圆周运动的时候，它的角频率是圆周运动的速度和半径之比。为了计算方便，可以取m=1，那么我们可以得到
E（n+1）-E（n）=hν(1,n)

对应原理的说：lim（n趋向无穷大）E（n+1）-E（n）=hν
其中ν是经典圆轨道的频率，这个频率是和能量E的3/2次方成正比的（高中物理）。

所以，我们有如下表达式：
lim（n趋向无穷大）E（n+1）-E（n）=C E（n）^{3/2}
其中C是比例系数，是常数。

也就是说E（n）对n的导数正比于E（n）的3/2次方，可以推出，E（n）正比与n的-2次方。这样就解出了氢原子的能级表达式。

（5）

对应原理解出的氢原子的能级非常符合观测到的光谱数据，所以，这个原理成为思想的利器。玻尔在这个时候成为一个真正的物理学大师。真正的物理学大 师不需要太多的数学，只需要在非常恰当的时候做出一些恰如其分的物理假设。在这个故事里， 玻尔为了解出一个函数方程做了一个当n无穷大情景下的渐近假设，这个假设看起来也是非常合理的，因为他只不过要求一个量子系统在量子数很大的时候非常接近 与经典系统。

对应原理把量子力学拉回到经典力学，这是必须的，因为量子力学在某种意义上是一门画鬼的学问，但最后必须要能回到人的世界。