Observables in quantum gravity
量子引力中的可观测量
原文来自：http://motls.blogspot.com/
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模糊翻译：即保持原句表达意思，但不追求翻译精度。
可观测量
每个量子力学的目的是预测特别物理量（可观测量）的概率，在初始条件给定的情况下，这个量在系统演化后可以取其中某个值。
例如，我们用薛定谔方程预测双缝干涉中，粒子出现在屏幕上某个点的几率。同样，我们也可以预测希格斯玻色子或它的超对称例子出现在LHC探测器上某个像点的几率。
量子力学的数学有一个不可避免的结果，那就是可观测量是和作用在所允许的态的希尔伯特空间的算符等同。
在力学里，“基本的”可观测量通常是x，p（位置和动量），当然也可以构造出角动量（转动的生产元）、哈密顿量H（时间演化生成元）。每个粒子都有自己的x，p，J，这些量构成Hamilton，等等。
在量子场论中，自然的可观测量“看起来”是不同的。量子场论仍然意味着具有动量和位置（通常不是局域化的）的粒子存在。每种量子场论都是场论的量子版本。
一些自然的可观测量是场，例如phi(x,y,z,t) 或 E(x,y,z,t)。这里E是在给定时空点的电场。（我们先忽略时空的额外维度。）更精确的说，这些对象是“算子分布”而不是算子，你应该对场在某个区域积分（利用测试函数）以得到真正的算子，这样的算子的对易子是函数而不是分布。
但是这不是一个概念上困难的技术：每个物理学家都知道如果用分布（比如delta函数）制备这些量，以用于处理算子分布。我们也可以称他们是“算子”。
算子phi(x,y,z,t)告诉我们一些和物理体系的态有关的东东：场phi(x,y,z,t)在一个给定的点。因此算子在空间中的点什么都不做，事实上phi(x,y,z,t)和一个类空分离的算子的对易子必须为零（因果关系）。那就是为什么我们称算子是“局域的”。狭义相对论指出类空分离的区域不能有相互影响，因此我们对这样的局域算子存在一定不用惊奇。
根据这些局域算子，量子场论被自然的重写了。哈密顿量是一个对空间的积分。其他的算子也仅仅是局域算子（或算子的导数）（空间坐标和函数）积分的而构造出一个可观测量。虽然我们加上了杨-米尔斯规范不变性，我们仍然可以构造一个局域算子和空间的点相关，也就是说规范不变量（本征值完全可测量的）。
（规范变化的算子和规范相关，也就是说不能直接测量。例如，磁场强度是规范不变的，而矢势本身不是。）
引入引力
如果我们加入度規张量和引力会发生什么呢？嗯，确实有些事情发生了。广义相对论中，我们必须引入同胚群到规范对称性中。仅仅是那些规范无关的算子是可直接测量的。
这说明是出现了一个重要的问题。在我们加入引力之前，在phi(x,y,z,t) 中的四元数(x,y,z,t)描述了时空中的一个确定的点。在不同的参照系中，你可以把这个点和不同坐标系的四元数关联起来。但是一旦你选定一个坐标系，那就建立了四元数和坐标之间的一个一一映射。这些在时空中的点有一个特性：这个映射是和系统的态无关的。
一旦加入引力，前面的断言将不起作用。为什么？因为这个数(x,y,z,t)恰恰就是可以被重新参数化的坐标本身，这个过程不会改变物理学。因此我们说(x,y,z,t)不能和时空中的点等同起来。因此你不知道phi(x,y,z,t)的那个算符有物理意义。重新参数化，有如此大的自由度让你把(x,y,z,t)和任何你想要的对象等同起来。
你可以认为在狭义相对论中也面临同样的问题。那里也有可接受的不同的坐标系。然而，在狭义相对论中坐标是可以确定的。在广义相对论中，由于有无穷多的可重新参数化(x,y,z,t)的方式，因此你需要指出无限数目的信息也确定(x,y,z,t)究竟指的是什么物理量。
这个差别的来源是：在狭义相对论中，重新参数化是“整体对称性”，而在广义相对论中是“局域对称性”。在整体对称变换下态不会被改变，比如能量。在局域对称性变换下，我们就不得不要求能量为零，这是为什么呢？因为，局域规范变换可以总是与时间相关的，在这一的规范变换下，如果能量不为零，那么能量可以随时间演化。
因此，在广义相对论中坐标的选择不能是“正则的”。在狭义相对论中，时空是平直的，你可以确定时空中的点，你可以指定坐标是线性的。
然而，在广义相对论中时空是弯曲的：对于广义态（和他们的引力场），坐标不得不是“內禀非线性的”。进而，时空的曲率和物理体系无关。例如，如果一个原子在一个地方发现，那么它如果被放在在另外一个地方的时候，它有一个不同的引力场（不同的时空曲率）。死猫和活猫有不同的引力场。（这里的猫是指薛定谔猫）。
因此，你不能选择“正则”坐标，类似于phi(x,y,z,t)的规范不变的可观测量与下面两种性质相关：
·1. 物理上可观测量必须是规范不变的，也就是说与微分同胚无关；这意味着可观测量不能依赖于任何坐标系。
·2. 没有简单的“简单的”非任意的坐标，有物质存在的时空是弯曲的。
在Moshe Rozali 的博客中，很多人都问这些情况的那一种确实解释了，在量子引力中，我们不能定义任何简单的规范不变的局域可观测量：事实上上面的两点使得问题变得复杂。
现在，我感觉你可能想象在广义相对论的弯曲时空中不能定义任何“对象”（这里的对象指可观测量）的坐标。例如，选择一个参照点P，P远离所有的物质（接近无限远）。那么我们可以参数化时空中的点，通过指定：
·1. 从点P定义Omega方向（角的的坐标）（P点的邻域是平直的），Omega就像非引力物理学。
·2. 从P点指向你想描述的点，什么是固有距离或固有时间（最短测地线的长度）。
然而，这种特别的方法是很难实现的，因为时空中的测地线是复杂的，特别是对于普通的质量分布。进而，一般来说，坐标不可能是唯一的：回忆起在引力透镜的情形，两束不同的光可以从一个星系到你的眼睛（沿着两条不同的测地线）。这个定义假设在时空中度規张量作为一个“经典的”张量处处存在。实际上，度規张量涨落是广泛存在的，特别是在很短的距离的情况。如果你想找精确的测地线，那样会导致比经典方法更复杂的问题。
基于这些理由，尝试定义一个特殊坐标系，这个坐标系基于时空中的测地线，即固有距离，应用外推法是很困难的，可靠性，收敛性等都会有一些问题出现。
很偶然的，弦理论给我们一个更好的方法定义特殊坐标系：光锥规范。在光锥规范下，所有的场或弦场自然的可以解释为“光锥时间”，x^+的函数。那些剩下的坐标，x^-和横向坐标x^i，也可以被先验的定义。但是在光锥规范下的哈密顿量（x^+,x^-的 平移变换生成元）自动的给出所有坐标的基准值。
光锥规范坐标，在平坦时空中对于超选定则也能很好的应用（所有的态在无穷远处收敛到一个平坦时空。）你可能会考虑“有限时间”后的演化问题。但是，让我们假设读者不喜欢物理学中的任何规范固定的方法，因为规范固定让“自然对称性”变得模糊。并且当物质密度高（场强大）的时候，这也会成为问题。让我们想象读者想让所有的坐标都平等（即Lorentz对称性）。
散射和全息
好，如果这是一个梦想，那么情况发生了戏剧性的变化。在无引力的量子场论中，我们有算符phi(x,y,z,t)，我们也可以计算他们的关联函数（真空态中的算符乘积的期望值）。通过傅立叶变换，这些成为外动量(p_x,p_y,p_z,p_t)的格林函数，并且(p_x,p_y,p_z,p_t)可以是任意的off-shell的动量。
在引力中，我们被迫只讨论在壳幅度（这些是和散射相关的）。为什么会这样呢？这是考虑的算子phi(x,y,z,t)的本质是被病态定义的，普通的关联子是很困难的。但是，这样做的好处是当你研究散射的时候，事情变得简单。
在散射过程中的初态和末态对应于很好的空间分离的粒子，如引力子。因为他们分的如此开，他们周围的引力场是非常弱的。因此定义引力子的初态和末态有某个确定的动量（确定到1/X的精度，这里X是一个任意打的引力子之间的距离）是有意义的。在无穷远时空点，入射粒子到达时的动量和出射粒子离开的动量和狭义相对论中是类似的：在这里，你完全可以忽略微分同胚和曲率。你完全可以假设时空中存在一个坐标系，在无穷远处是平坦的。在这些坐标下，事情就像狭义相对论中一样清晰了。
引力子周围可能还是存在引力场，即使在无穷远处，但是在定义外态的时候，你不需要知道这个引力场的任何细节。在讨论在壳动量的时候，这些已经足够了。有局域性，这是理论的一个特性。你可能会争论说存在多粒子态，单个粒子有独立的动量，并且粒子间是完全分开的。然后系统随时间的演化，你会认为这是一个更好的近似。
基于这些理由，每一个有意义的引力的量子理论必须能够在任意精度下，计算引力子的散射幅，这个计算中我们假设理论所描述的空间是无穷大的，在无穷远处散射，然后粒子消失在无穷远。
用Ads/CFT描述这种情况是非常清晰的。让我们讨论Sds/CFT4对，这是非常特别的。也有一个紧致的5-流形（比如球，等等），我们忽略这些额外维度，因为他们是紧致的：所有的场必须能够展开成Kaluza-Klein球谐函数。
因此量子引力理论必须能够计算引力子的散射幅度，引力子的5-动量是在壳的，也就是说是类光的。在这些限制条件下，对于这些动量，只有4个独立的参数。这是由AdS/CFT产生的，在边界上的局域算子（对于引力子，这是能动量张量）的关联子（在壳）的散射幅度是完全被编号的。
注意到，在边界上每个这样的算符与四个坐标相关，如(x,y,z,t)，这正好是在5维情况下参数化类光动量的正确的参数数目。引力子有5个大的维度，但仅有其中的四个用于计算精确的关联子：这就是为什么其中一维消失的原因。换句话说，这是全息的表现。
在另外一方面，边界理论允许我们得到所有的格林函数，因此这不是全息的。引力（微分同胚或黑洞）使得某些理论全息。我们回忆起，全息意味着自由度（熵）的数目不能超过普朗克单位下的曲面面积。但是普朗克面积正比于牛顿常数：G，因此如果你“关掉”引力，这就为零，并且上面的这个不等式变得没有意义：“熵应小于无穷”。
全息的制备有一些其他的方法：黑洞是任何局域化体系的引力塌缩的最终态。它的熵仅仅正比于其世界面的面积，但是有热力学第二定律，这不能比导致黑洞产生的物理体系的熵小。从这里我们得到，所有在给定体积内的所有局域化的态必须有比起面积小的熵：这个面积在普朗克单位，并告诉你描述这个区域需要多少自由度。无论发生什么，在表面上，都有一个“全息图”。
全息：依赖于弦论吗？
全息出现在弦论中的一些地方。当你尝试计算弦的幅度时，你可以看到只有在世界面上共形不变的情况下才有意义，如果外粒子是在壳的（顶点算子的维度必须是（1，1）以使得他们对世界面可积）。AdS/CFT是另外一个指出弦论的全息本质的方法：在有引力的一个体积内，可以由一个边界上的非引力理论描述。
那么我们能说全息只能在弦论中成立吗？我想这可能不是一个正确的结论。弦论是一个非常“特殊的”，很确定的量子引力的理论，这个理论比较脆弱。然后，我想很明显的是一些讨论支持全息，但并没有用“弦”来解决问题。全息是一个合适和谐的量子引力理论（这可能是一个词和“弦论”等价。但至少全息是一个和谐的理论这句话是正确的。）
我们有哪些可观测量？
正如我们已经建议的，在平坦的闵氏空间或AdS空间，在无穷远处的散射副是我们研究的可观测量。该量可以用弦论的方法计算（从世界面关联子或边界关联子）这是否意味着弦论（或其他的量子引力理论）不能研究体积中的有限区域呢？
嗯，这和你想达到的精度有关，如果你想得到一个完全确定的结果，并且你不想接受一个大数目的定义你的特殊坐标的方法，例如光锥规范或者别的更差的，这仅仅是“从无穷远处”散射，也就是说这是完全确定的。然而，如果例子从10^{-18}米这样量级的距离散射，就像在LHC里一样，你应该意识到的是：这个尺度和弦的尺度或普朗克尺度比较的话，还是要小的多的多。
这意味着LHC上的所有碰撞都可以看作是无穷远处的碰撞。当然，也有物理学不能够退化到碰撞模型，例如强子谱分析。但是对于这样的物理学四维引力是完全无关的（仅有一个非常微小的误差）。因此量子引力的在壳极限不会削弱你计算任何真实情况的能量。
如果你选择更高的能量尺度（更接近于普朗克尺度），这个更重要的散射实验成为你的可观察的测试。在接近普朗克尺度，时空的曲率和空间几何的涨落可能变得重要，但是散射仍然是用于探测这个区域的有效的方法。即使是最小的微观黑洞也必须用散射研究。（大黑洞用经典的广义相对论能够得到很好的描述）。
我想强调的是，在整个理论中，有一些其他的方法来确定非散射物理学。例如，你总是可以导出理论的低能近似，并把这当成是经典或半经典的理论。这里可以告诉你一些关于“局域”物理的东东，这不是很明显的退化到散射的。但是在某种意义下，所有的物理学都是用散射幅度来标记的。
De Sitter 空间
另外一个问题是所有的空间有一个区域，在无穷远处，很容易定义全同粒子有一个确定的动量。例如，我们的空间的能量密度似乎是有宇宙常数主导的。假设宇宙常数是观测到的“暗能量”的正确假设，真空变得更“空”，并且我们的宇宙变大，这类似于De Sitter 空。该空间的片段看起来像球，粒子永远不能从逃到无穷远，虽然137亿光年相对于普朗克尺度是很大的。
也许，你学术上坚持你的理论应该能够精确计算某些量，从原理上讲，可以到达任意可测试的精度，De Sitter 空间不能给你这个。不确定度（例如，来自宇宙世界面的随机热辐射）是De Sitter 空间的一个天生的特点。这个不确定度（热辐射）对于物质而言太弱了，所以不能给你任何现在你可以想象的任何实验测试，似乎任何未来可以预测到的实验方法也不行。
再一次，我必须承认上面的论述不是No—Go定理的证明。存在一个特别的希尔伯特空间，具有定义很好的可观测量，这些可观测量演化在De Sitter 空间中有意义。但是，我们要知道，在De Sitter 空间里，我们不能绝对精确的测量任何量。这里有个问题，就是我们真的需要一个理论可以预测到绝对的精度吗？也许我们不需要这样。
体积中的Preon自由度
一些人提出度規张量是由其他的对象或场构成的，这些对象或场定义在同一个“体积”内。这可能构成规范场,超导材料，preons，或者其他的同样类型的东西。我很怀疑这中想法。但更重要的是，我认为这些假设能够解决引力自由度的问题，就像我们刚开始解释的一样。当你尝试定义可观测量，如量子引力中的g_{mn}(x,y,z,t) 时候，你面临的主要问题不是g_{mn}而是(x,y,z,t)。
当然，我发现一些Idea尝试把度規张量作为特殊的自由度，这是一个误导。度規张量很明显只是一个低能有效自由度，这个自由度来自于理论必须包括更多的东西。在微扰弦论中，闭弦可以携带无穷多的“Hagedorn”激发，这些激发从原理上看是和引力子的模式一样重要。要让“引力子”看起来不一样的话，就不得不在一定远的距离看。
超越微扰级数，总是有一些黑洞微观态。散射幅度中的极点（或分支截断）对应于一个黑洞中间态，这和极点中出现中间态引力子是一样重要的。某个量级下，当你考虑低能近似的时候，黑洞微观态必须和弦的激发模式（或引力子模式）一样重要。黑洞微看起来像引力子的组分（他们的场）。但是，我觉得这个假设成立的仅有的条件是：如果你假设引力场是基本的，而“黑洞微观态场”不是。
弦场论
弦场论是什么？弦场论是一个重写弦理论的方法，这和你得到普通的量子场论的方法类似的。然而，弦场论必须包含无限多的基本场，对应于所有的弦的激发态，也对应于加强的规范对称原理。一些人想说的是，弦场论是和“背景无关的”（在弦的意义下）。
对于这个断言，有些问题。首先，当我们谈论背景的时候，我们允许所有的场（包括标量场）取它们能够取得任意的值，没有使得这个描述更少的近似。伸缩子可能是弦论中最重要的标量场，在微扰级数中是相当重要的。但是弦场论如此强的依赖于“弦”，这仅仅在弱耦合的情况下比较好（伸缩子在无穷远处为负）。对于弦理论的非微扰物理学，似乎弦场论对比其他的微扰方法而言，并不能告诉我们任何新的东西。例如，尝试写下IIA型的弦场论，似乎不能指出强偶尔极限下具有11维德Lorentz不变性。
弱偶哦弦的“特别作用”确实给出了弦场论不是一个真正意义上的背景无关的。即使你解决了闭弦场论的困难的技术问题，但你不能得到背景无关的结论。
矩阵理论，或矩阵弦理论在这个意义下恰好相反：它们任意的弦耦合值都是确定的，包括无穷大（在IIA型里，你抓住原始的BFSS模型可以回到M理论）。在这个意义下，这是“背景无关的”因为他对于耦合的其他值处理的很好。另外一方面，对于不同的值你需要一个不同的模型，对于超选段的仅有的模型是渐进平坦（某些p-p波）：这削弱背景无关的几何部分。
但是，AdS/CFT 和矩阵理论都证明了时空中的空间和位置的概念都不是基本概念。他们是自然出现的。系统看起来并不想AdS5或者是11维德闵氏空间M11。这真的让人很惊奇。在弦论外的人们可能想讨论的是出现的空间或者背景无关或者那些新的词。两个结果：
·1. 他们有一个模型已经有一个构成空间的对象被局域化的：无论这是什么，对于这个问题，他们不能真正的说：“什么是微分同胚，什么是规范不变算符”。
·2. 他们有一个模型，开始的时候没有空间存在，但他们能给出光滑空间的出现。
上面两个问题的任一个出现，有时候是和你称为“空间”的这个词有关的。在任何情况，如果你的终止于上面问题的任意一个结果，你的理论对于量子引力而言是没有用处的。那仅有的意义是描述了一个出现空间的理论。也就是说该空间在开始的时候没有存在，而在后来有了。
当你看看量子引力的成功的描述-所有那些现在已经被弦论学家写出来的，这些弦论学家大致可以分为两类：
·1. 使得幺正性明显的描述，并允许你从原理上对于任意模（moduli）值得精确幅度。
·2. 使得几何解释（以及Lorentz对称性）明显的描述，但遭遇各种限制。（比如，弱耦合或低能假设）
这里似乎有个平衡。你的描述的几何解释越明显，对于高能、强耦合、高密度或极端时间相关的问题的描述能力越受限制。这不应该感到惊奇，出现的时空的几何解释是我们所知的。但是，这样的话时空通常仅仅出现在低能和模（moduli）空间中的退紧致化（对于紧致维）的地方。
如果你研究更多的极端情况，你不要觉得被雷到。简单的说，几何明显的描述消失了。它们是真的消失了：这不是你描述中的一个错误，而是关于自然界的一个真正的事实。如果你能够证明流形的尺度在弦/普朗克/膜单位下是大的，并且所有的物理量的改变比普朗克长度要慢，那么在这样的条件下，大尺度流形上的“局域”自由度才出现。
如果你想找到一个描述-自由度的选择-在量子引力中的每一种情形都是相当好的，它必须是一个令人惊异的几何后的描述，这就知道了所有的对偶，所有的从相互左右中自由度出现的方式，以及在各种极限下某些量变轻。
坦白的说，我想象这样一个描述，如果存在的话，不能基于任何“预先给定的自由度的集合”，这个描述给出了各种各样的不同的行为。我想对于每个自由度的组织和组合，我想必须应该从一个满足一致性判据的解开始。我想人们应该话更多的时间尝试理解一致性判据所隐含的意思，这些所隐含的东西必须只有一种方式。在某个时刻，他们将不得不回到起点。
我想最好的是，大多数在量子引力中自由度的描述将从没有空间（可能也没有时间）开始。但因为时空（特别是时间）对于物理体系是如此的基本，如果我们总结已知的理解，我们知道一些规则，这些规则使得可以在几何化结构之前定义空间，特别是时间。
没有什么证据表明这一的一个结构存在或将被发现在5年甚至50年里。但人们不得不不断的尝试，但是这样的东东可能会成为量子引力研究中极为重要的支柱，特别是对于理论物理学而言。
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