《命运骰子——量子力学简史》（第十六章）

发信人: yauzhang (penrsoe), 信区: Physics
标 题: 《命运骰子——量子力学简史》（第十六章）
发信站: 两全其美网 (Tue Jul 29 21:27:38 2008), 本站(lqqm.net)


《命运骰子——量子力学简史》（第十六章）

第十六章 魔方，矩阵

（1）

海森堡从北海回来，把文章交给玻恩阅读，问道：“这个文章值得发表吗？”
玻恩的回答非常言简意赅，只有两个字：“值得。”
过了一会，金语良言的玻恩又补充了四个字：“就是矩阵。”

于是，海森堡就发表了他一个人署名的文章第一篇矩阵力学的论文《关于运动学和动力学的量子力学解释》，历史上称为“一人文章”。这个文章里有很奇怪的乘法求和法则，玻恩一语道破天机，认定这个乘法求和规则，正是英国数学家凯莱所定义的矩阵乘法。

遥想凯莱当年，羽扇纶巾，谈笑之间，就定义了矩阵的零元素和单位矩阵，接着通过坐标系的连续两次变换，发现了一个很自然的矩阵乘法的定义。





（2）

中国古代传说，大禹治水时，(约公元前二十二世纪)于洛水中浮现一只神龟，它的背上有规律地排着九种花纹，这图后人称之谓“洛书”，也称九宫图。如果把图形改成现在通行的阿拉伯数字，就是一个3阶魔方（Magic square）。
8 1 6
3 5 7
4 9 2

上 面这个幻方可以具有非凡的特性，它其实是一个矩阵，研究它的人在全世界数不胜数，但多数人智商不行，研究一辈子也没有更高的见地。极少数天赋异赋之徒，居 然能想到计算它的特征向量，或者把它平方起来，对它进行一系列的数学运作，试图更加接近真理。总的来说，这个魔方暗藏很高的对称性。


本书读者，可以把魔方看成是矩阵的一种。如果您还是不懂什么是矩阵， 请先不要着急——为了激励有志青年学习矩阵理论，我们来看哈代如何评价华罗庚，哈代说“华玩弄矩阵就好象玩弄整数一样轻松”。


（3）

量子力学不是一门直观的物理理论，但这个理论具有最直观的表达方式，那就是矩阵。矩阵在生活中经常出现，如果在一个大学里，一个男生站在夜晚的女生楼下，就能看到矩阵——虽然matrix亦有“子宫”之意，不过此处我们并不研究子宫，而是谈论矩阵。

如果这个男生盯住整幢宿舍楼看，假设这个楼是8层的，每层有8个宿舍。那么，这就是一个8乘8的矩阵，而每一个宿舍里女孩子的人数，就可以看成是矩阵元。


这 个好色男生会发现，矩阵是多么的美妙。文科读者们一定不要有惧怕心理，其实真理永远是朴素的，矩阵就是一堆数放在一堆整齐的方格里而已，欧拉以前也没有搞 过矩阵的乘法，但他曾经思考过一个问题，这个问题是所谓拉丁方问题，或者说“三十六军官问题”——本书不再展开谈这个，有兴趣的读者自己可以上网查阅—— 总是，欧拉为了把一些数字放在一起做成一个满足某种性质的矩阵，花了九牛二虎之力。



（4）

海森堡在非常懵懂的情形之下，发现在量子力学里，一些物理量应该用矩阵来描述，而不是以前认为的函数或者数字。这是量子力学全部的数学意义所在。


而一个n阶矩阵M有特征方程
f(x)=det[M-IX]=0
这个特征方程是一个n次多项式方程f(x)=0，在第一章我们已经讲过，代数基本定理说，n次多项式方程具有n个解，这n个解被称为矩阵M的特征值。在很多情景下，当M表示一个物理系统的能量时，上面所讲的n个解正是系统的能级。




凯莱当年，还发现一个更加有意思的事情，那就是上述n次多项式方程f(x)=0，对于矩阵M也是成立的，也就是说，f(M)=0。这被称为凯莱-哈密顿定理。


（5）


量子力学的基本语言是矩阵，这起源于玻恩的贡献。玻恩对薛定谔的波函数和海森堡的乘法求和规则做出了正确的解释，所以，他是量子力学历史上，在正确的时间正确的地点出现的最正确的人。